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Posté par
mhidiwa 25-04-09 à 16:15

Bonjour,

J'ai un problème avec la question suivante :

1.) Calculer l'intégrale suivante :

I(x) = \int_1^{x} 2t*ln(t)/(1+t<sup>2</sup>)<sup>2</sup> dt

2.) Calculer \lim_{x\to +\infty} I(x)

Merci à l'avance.

Posté par
mhidiware : Intégrale 25-04-09 à 16:17

dsl pour l'erreur :

I(x) = \int_1^{10} 2t.ln(t)/<sup>(1+t[sup]2</sup>)2[/sup] dt

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 16:21

Salut

Tu voulais peut-être écrire,

5$\fbox{\fbox{\I(x)=\Bigint_1^{x} \ \fr{2t\times ln(t)}{(1+t^2)^2} \ dt}} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:23

Joli LaTeX, Olive! Je ne connaissais pas \I pour faire les belles lettres de mes grands-parents (et de tes arrières grands-parents lol!)

Posté par
mhidiware : Intégrale 25-04-09 à 16:23

Oui Olive. c'est bel et bien cette écriture .

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:25

Bonjour mhidiwa, as-tu pensé à une IPP? (Pose u = ln(t) et v' ce qu'il faut! )

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 16:28

moi non plus je ne connaissais pas je viens de tombé la dessus par hasard

Je me demandais même pourquoi j'avais un I tout ancien comme ça

Je penserais intégration par parties là.. J'ai raison Greg ? Je vais tester par calcul la

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 16:29

Ah lol je n'avais pas vu ton post

Ce qui confirme ce que j'ai pensé puisque je voyais un 4$u'/u \times ln(t)

Cool

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:30

Citation :
Je me demandais même pourquoi j'avais un I tout ancien comme ça
-> C'est comme ton exo de Spé que tu as outrageusement qualifié de "pur"!

Citation :
Je penserais intégration par parties là.. J'ai raison Greg ?
-> Yes, my friend!

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 16:37





Ah je serais quand même bloqué pour terminer de calculer..

Car j'ai un 4$\Bigint_1^x \ \(\fr{1}{1+t^2}\)\times \(\fr{1}{t}\) \dt

n'y aurait-il pas une astuce genre 1=x^2-x^2+1 ou des truc comme ça ^^

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:40

Oui, tu verras une méthode générale l'an prochain (décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, et aussi fonction Arctangente).

Cherche A et B tels que pour tout t entre 1 et x , l'intégrande s'écrive 4$\displaystyle\blue\fr{A}{1+t^2}^\;+\;\fr B{t}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:42

Et en plus je dis des bêtises!!

C'est sous la forme 4$\displaystyle\blue\fr{AB+t}{1+t^2}^\;+\;\fr C{t} qu'il faut chercher à décomposer!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:43

4$\displaystyle\blue\fr{At+B}{1+t^2}^\;+\;\fr C{t}


je vais y arriver!(le pire, c'est que j'avais fait "aperçu"!)

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 16:43

Lol nan mais même cette année j'ai déjà fais ça alors que l'exercice nous le demande pas explicitement..
Je sais pas pourquoi j'ai pas pensé à ça.. et je sais aussi que 4$(arctan(x))^'=\fr{1}{1+x^2}

Donc je n'ai pas d'excuse ..

Merci

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 16:45

Citation :
je vais y arriver!(le pire, c'est que j'avais fait "aperçu"!)

\to Mdr !

Ah non cette formule parcontre je n'avais pas vu mais bon c'est assez intuitif si on y réfléchi un peu

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 16:47



En fait ici on n'a pas besoin d'Artangente. Vous l'avez vu en classe?

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 17:03

Oui je vois ça ^^

J'ai 4$\fr{-ln(x{1+x^2}-\fr{1}{2}ln(x^2+1)+\fr{1}{2}ln(2)+ln(x)

Euh non juste une curiosité de ma part et la dérivée je me la suis calculé avec la dérivée d'une fonction réciproque .

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 17:05

Oups 5$\fr{-ln(x)}{1+x^2}-\fr{1}{2}ln(x^2+1)+\fr{1}{2}ln(2)+ln(x)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 17:12

Oui, c'est juste! On peut aussi rassembler les 3 derniers termes si on veut (en 5$\displaystyle\blue\ell n(x\sqrt{\fr{2}{{x^2+1}})) , mais bon il n'y a rien d'obligatoire!

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 17:15

Oui bien plus joli comme ça

Et comme ça on trouve la limite en +\infty simplement aussi

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 17:18

En effet!

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 17:27

Bah on t'entend plus mhidiwha ..

C'est bon tu as trouvé 4$\lim_{x \to +\infty } \I(x) ?

(Enfin j'éspère pour lui ou elle ^^ )

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 25-04-09 à 17:32

Ah mais tu as raison, la question de la limite est bien posée lol!

Je pensais que tu avais juste fait une remarque!

Je crois bien que mhidiwa sera bien content(e) en voyant son exercice entièrement résolu, et assorti de petites remarques amusantes

Posté par
olive_68re : Intégrale 25-04-09 à 17:42

^^ Oui oui

Ah bah je crois aussi ^^'

Posté par
mhidiware : Intégrale 26-04-09 à 22:23

C'est bon, j'ai obtenu le même résultat que Olive.

Posté par
mhidiware : Intégrale 26-04-09 à 22:25

P.S : Désolé pour le retard.

Posté par
mhidiware : Intégrale 26-04-09 à 22:27

J'arrive pas à trouver la limite ...

Je suis coincé, aidez moi svp !

Posté par
mhidiware : Intégrale 26-04-09 à 22:39

Voilà ce que j'ai obtenu :

5$ \frac{-ln(x)}{1+x<sup>2</sup>} + 5$ \frac{1}{2} \times ln(\frac{2}{x<sup>2</sup>+1}) + 5$ ln(x)

il me manque plus que la limite à résoudre ...

Posté par
mhidiware : Intégrale 26-04-09 à 22:40

Pk j'ai ce problème de " <sup> ... </sup> " ?

Posté par
mhidiware : Intégrale 26-04-09 à 22:46

Ah c'est bon !
J'ai corrigé le procblème de la puissance. ^^

pour la limite.

Posté par
olive_68re : Intégrale 27-04-09 à 00:04

Nan trouves pas ?

Tu sais que 4$I(x)=\fr{-ln(x)}{1+x^2}-\fr{1}{2}\times ln(x^2+1)+\fr{1}{2}ln(2)+ln(x)

C'est aussi égale à 4$\fr{-ln(x)}{1+x^2}+\fr{1}{2}ln(2)+ln(\fr{1}{\sqrt{x^2+1}})+ln(x)

Ce qui est équivalent à 4$\fr{-ln(x)}{1+x^2}+\fr{1}{2}ln(2)+ln(\fr{x}{\sqrt{x^2+1}})

Soit 4$\fr{-ln(x)}{1+x^2}+\fr{1}{2}ln(2)+ln(\fr{x}{|x|\sqrt{1+\fr{1}{x^2}}})

Qu'elle est la limite de 4$\lim_{x \to +\infty} \ \fr{-ln(x)}{1+x^2} ? Qu'elle est la limite de 4$\lim_{x \to +\infty} \ ln\(\fr{x}{|x|\sqrt{1+\fr{1}{x^2}}}\) ?

Donc que vaut 4$\blue \fbox{\fbox{\lim_{x \to +\infty} \ I(x) }} ?


Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 27-04-09 à 00:37

Bonsoir,

juste pour dire qu'il y a un peu plus simple: déjà, x est positif, donc les valeurs absolues sont inutiles.

De plus, en partant de 5$\displaystyle\blue\fr{-ln(x)}{1+x^2}+\ell n(x\sqrt{\fr{2}{x^2+1}})=\fr{-ln(x)}{1+x^2}+\ell n\sqrt{\fr{2x^2}{x^2+1} ,

on lève immédiatement l'indétermination du deuxième terme en considérant la fraction rationnelle sous la racine...

Posté par
olive_68re : Intégrale 27-04-09 à 00:44

Oui c'est vrai plus pensé que x était strictment positif ^^

Pour une fois que je pensais à cette valeur absolue !

Et ouais ça aurait été plus simple de mettre sous la forme que tu as mis..

Donc prend plutôt l'expression de Tigweg dans les deux cas la limite seront la même

5$\to \ ln\(\sqrt{x}\)=\fr{1}{2}ln(x)

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 02:01

J'ai la même expression que Tigweg,mais je trouve toujours la forme inderterminée pour la limite.

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 02:04

Il doit bien y avoir une façon pour trouver cette limite, il faut simplement factoriser x dans le bon endroit, j'imagine ?

Posté par
olive_68re : Intégrale 27-04-09 à 02:10

Bah tu ne sais pas trouver la limite en 4$+\infty de 5$\fr{2x^2}{x^2+1} ???

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 27-04-09 à 02:16

mhidiwa, tu es vraient en école d'ingénieur?? Cette question est de niveau 1èS!

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 02:25

Mais biensûr que si je sais faire les limites.
Pk cette remarque désopilante ?

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 02:26

Je vous remercie bien.

A Bientôt ...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 27-04-09 à 02:27

Bon désolé, mais je ne voulais pas être blessant, ni drôle d'ailleurs...c'était simplement de la surprise!

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 02:28

P.S : j'ai trouvé la réponse .

Posté par
olive_68re : Intégrale 27-04-09 à 02:40

Ce n'est pas pour être méchant non plus mais ça ma surpris aussi ..

Je comprends que de calculer le 4$I(x) de départ pose surement problème parcontre la limite c'est vrai que un moyen bon 4$1^{ere} te la trouve..

Je suis en terminal donc c'est que il y a moyen de trouver quoi ^^'

P.S:[b][/b] Tu trouves donc combien comme limite ?

Alors Greg t'es de forme olympique ce soir ? où tu t'endors sur le clavier comme l'autre soir?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 27-04-09 à 02:46

Non non je suis aussi ailleurs...Et le temps passe vite! Mais j'y vais, bonne nuit! C'est toi qui parais en forme plutôt!

Posté par
olive_68re : Intégrale 27-04-09 à 02:49

Ah ok ^^

Oké Oké bonne nuit à toi aussi merci

Ah juste asser pour terminer de taper la récurrence de la formule de Taylor avec reste intégrale et pour regarder un film ensuite

A demain surement

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 14:59

j'ai trouvé 5$ ln\sqrt{2}.

Posté par
olive_68re : Intégrale 27-04-09 à 15:42

Ouais c'est bien ça

Posté par
mhidiware : Intégrale 27-04-09 à 23:38

Je vous remercie pour votre aide précieuse.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Intégrale 27-04-09 à 23:46

Pour ma part, je t'en prie, mais c'est surtout Olive qu'il faut remercier!

Posté par
mhidiware : Intégrale 28-04-09 à 01:56

C'est bon, j'ai vouvoyé tout le monde.
Personne n'est en retrait.
Que personne ne s'inquiète.

Posté par
olive_68re : Intégrale 28-04-09 à 07:56

De rien pour ma part

Greg \to Mais non, mais non. Comment est-ce qu'on aurait trouvé 4$\I sans toi?

(J'ai vu que si on met une barre devant les lettres ça ne fait pas forcement des lettres anciennes..Par exemple pour faire un beau 4$\tau \ \to \ \G tu écris \G )

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