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Intégrale
Bonsoir, en voulant réviser le chapitre intégrale, je suis tombé sur cet exercice sur lequel je bloque:
Soit f: 
est continue sur .
1)Justifier, pour tout réel non nul, l'existence de 1/(2x) *
x-x f(t)dt
2) Soit g la fonction définie par : pout tout x appartenant à *, g(x)=1/(2x) *x-x f(t)dt et g(0)=f(0)
Justifier l'existence d'une primitive de f sur. F étant l'une des primitives de f sur , exprimer, pour tout réel x non nul, g(x) à l'aide de la fonction F
3) Montrer que g est continue sur , et qu'elle est paire. Que peut on dire de plus sur g si f est impaire (le montrer)?
4) On définit l'application a de dans par:
pour tout x appartenant à , a(x)=1/2 * (f(x)+f(-x))
Montrer que g(0)=a(0), et que pour tout réel non nul x: g(x)=1/x *x0 a(t)dt.
Je ne sais pas comment m'y prendre.
Pour la 2), je voulais montrer que g était continue pour montrer qu'elle admettait une primitive au moins, mais c'est la question 3). Donc, je n'arrive pas du tout à démarrer sur cet exercice
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
il faut lire les questions convenablement, il ne t'est pas demandé en 2 de prouver que g admet de primitive .... (ni en 3 d'ailleurs...)
bonsoir
pour 1- il faut penser à la continuté
2- utiliser la continuté de f et conclure
3-utiliser le fait que l'integrale change de signe lorsqu'on intervertit les bornes
4-ce là resulte meme de la definition de g
bone soirée et courage
Merci pour vos réponses.
Pour la 1) je ne sais pas trop comment montrer l'existence de 1/(2x) * x-x f(t)dt. Il faut utiliser la continuité? parceque c'est la question 3
Pour la 2), j'ai trouvé, et j'aboutis à: 1/2x *(F(x)-F(-x)).
Pour la continuité de g sur , suffit il de dire que f est continue sur ?
Et pour la parité?
Merci pour votre aide
Bonjour,
c'est bon j'ai réussi toutes les questions, sauf pour justifier l'existence de 1/2x * x-x f(t)dt.
Mais, j'ai 2 autres petites questions:
1) Je dois montrer que g est dérivable en 0, à l'aide d'un DL à l'ordre 1 en 0, et préciser g'(0)
2) On suppose que f est la fonction valeur absolue. Calculer g(x) pour tout réel x strictement positif puis pour tout réel x strictement négatif. Montrer alors que g n'est pas dérivable en 0.
pour la 1), J'ai montré que a était dérivable en 0, donc avait un DL à l'ordre 1 en0:
a(x)=a(0) +x*a'(0) + o(x) =g(0)+ x*g'(0) + o(x)
mais, après je ne sais pas comment faire... (A la question juste avant, j'avais montré que pour tout x appartenant à *, x*g'(x)+g(x)=a(x), je ne sais pas s'il faut s'en servir)
2) pour x strictement positif, je trouve g(x)=x/4, et pour x strictement négatif: g(x)=-x/4. Mais, je ne sais pas si le fait de trouver 2 résultats différents peut montrer que g n'est pa sdérivable en 0.
Merci pour votre aide
pour justifier l'existence, il n'y a pas grand chose a dire
f est continue, donc intégrable entre -x et x
puis comme x =/= 0, 1/2x est défini
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