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Posté par
bill159 24-10-09 à 21:31

Bonsoir,

Comment calculer cette intégrale:

\large {E_r} = \int \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\lambda \cos \alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\left( {{r^2} + {z^2}} \right)}}dz}

Je pense à un changement de variable...

Merci d'avance

Posté par
infophilere : Intégrale 24-10-09 à 21:34

Bonjour

Tu ne reconnais pas de l'arctan ?

Posté par
bill159re : Intégrale 24-10-09 à 21:36

euh j'ai pas fait l'arctan... mais je me suis déja amusé à l'utiliser l'an dernier...

au fait la prof a posé \large z = r\tan \alpha \Rightarrow dz = \frac{r}{{{{\cos }^2}\alpha }}d\alpha
mais j'ai pas compris comment elle a fait...

Posté par
bill159re : Intégrale 24-10-09 à 21:46

\large \begin{array}{l} \\ {E_r} = \int\limits_{ - \infty }^{+ \infty } {\displaystyle \frac{{\lambda \cos \alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\left( {{r^2}+ {z^2}} \right)}}dz} \\ \\ z= r\tan \alpha \Rightarrow dz= \displaystyle \frac{r}{{{{\cos }^2}\alpha }}d\alpha \\ \\ {E_r}= \int\limits_{- \infty }^{ + \infty } {\displaystyle \frac{{\lambda \cos \alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\left( {{r^2}+ {z^2}} \right)}}dz} = \int\limits_{ - \displaystyle \frac{\pi }{2}}^{\displaystyle \frac{\pi }{2}} {\displaystyle \frac{{\lambda \cos \alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\left( {{r^2} + {{\left( {r\tan \alpha } \right)}^2}} \right)}} \times \displaystyle \frac{r}{{{{\cos }^2}\alpha }}d\alpha } \\ \\ \end{array}

et après calcul, je trouve:

\color{blue}\fbox {\large \displaystyle \frac{\lambda }{{4\pi {\varepsilon _0}r}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} \times \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}d\alpha }}

est-ce juste? je pense que non ou bien ça n'aboutira pas...

Posté par
bill159re : Intégrale 24-10-09 à 21:53

je trouve \large \displaystyle \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} \times \displaystyle \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \displaystyle \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha {{\tan }^2}\alpha }}= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }} = 1

donc \large \displaystyle \frac{\lambda }{{4\pi {\varepsilon _0}r}}\int\limits_{- \displaystyle \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\alpha }


je sens que j'ai fait une erreur...

Posté par
bill159re : Intégrale 24-10-09 à 22:27

oui j'ai fait une erreur et on a pas fait arctan, donc une autre astuce:

\large {\cos ^2}\alpha = {\left( {\displaystyle \frac{r}{{\sqrt {{r^2} + {z^2}} }}} \right)^2} = \displaystyle \frac{{{r^2}}}{{{r^2} + {z^2}}} \Rightarrow {r^2} + {z^2} = \displaystyle \frac{{{r^2}}}{{{{\cos }^2}\alpha }}

je cherchais l'expression du champ électrostatique crée en un point M par une distribution linéique de charges réparti sur un fil rectiligne infini, j'obtiens donc:

\large {E_r} = \displaystyle\frac{\lambda }{{\pi {\varepsilon _0}r}}

Il fallait pas seulement voir l'intégrale mais aussi le schéma qui va avec et qui nous permet de faire un changement de variable...

Posté par
Ulussere : Intégrale 24-10-09 à 22:34

plus généralement, sans utiliser les notations de physiciens (avec les dz, da etc.) il suffisait de faire le changement de variable

r*u = z
de factoriser par 1/r²

et de remarquer que t -> 1/(1+t²) est la dérivée d'arctan.

Posté par
bill159re : Intégrale 24-10-09 à 22:47

oui mais dans ce cas (électrostatique...) on pouvais ne pas utiliser l'arctan

Posté par
bill159re : Intégrale 24-10-09 à 22:47

c'est quoi "u"?


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