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intégrale

Posté par
uncorse13 05-11-09 à 18:59

Bonjour à tous j'ai eu un sujet toute à l'heure et je n'ai pas réussit à faire cette partie si vous pouviez m'aider car j'ai un bon début je crois...


Intégrale de 2 à 3

(x-2)*√(-x²+4x-3) dx

alors voilà ce que j'ai mis :

Forme canonique :

= √-(x²-4x+3)
= √-((x-2)²-1)
= √1²-(x-2)²

on a :

U=x-2
W=1

on pose U=W sin(t)

x-2 = 1 sin(t)
dx = cos(t) dt


√1²-(x-2)² = √1-sin²(t) = √cos²(t) = cos(t)

soit intégrale de 2 à 3

= sin(t)*cos(t)*cos(t) (celui-là vient de Dx=cos(t) dt)

voilà là jsuis bloqué maintenant si quelqu'un a compris ma méthode et peut la continuer
ce serait très gentil de sa part...mais svp en suivant ma méthode qui est un changement
de variable en sin(t)car sinon je me perd lol

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale 05-11-09 à 19:14

Bonsoir.

Le numérateur x - 2 est, à un coefficient près, la dérivée de -x² + 4x - 3.

Posté par
uncorse13re : intégrale 05-11-09 à 19:17

comment ça le numérateur ? il n'y a pas de numérateur et de dénominateur c'est tout
sur 1 seule ligne...

(x-2)* racine(-x²+4x-3)

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale 05-11-09 à 19:32

J'avais vu un trait comme une fraction, désolé.

Il n'empêche que ma remarque tient toujours :

Tu as (à un coefficient près) la forme :

2$\textrm u^'.\sqrt u = u^{\fra{1}{2}}.u^'

2$\textrm (x-2)\sqrt{-x^2+4x-3} \\ \\ \\ = -\fra{1}{2}(-2x+4)\sqrt{-x^2+4x-3} \\ \\ \\ = -\fra{1}{2}(-x^2+4x-3)^{\fra{1}{2}}.(-2x+4)\\ \\ \\ = -\fra{1}{2}.u^{\fra{1}{2}}.u^'

Posté par
uncorse13re : intégrale 05-11-09 à 22:59

ah ok...alors une fois que j'ai ça je fais quoi pour trouver la primitive et l'intégrale...?
sinon tu saurais pas continuer ce que j'ai fait stp car c'est la méthode que j'ai appris à la
fac donc j'aimerais la continuer...je suis bloqué à "sin(t)*cos(t)*cos(t)"

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale 06-11-09 à 00:19

C'est dommage de passer par la trigonométrie alors que la réponse est évidente.

Pour revenir à ton calcul :

Tu cherches une primitive de sin(t)cos²(t).

Tu peux écrire sin(t)cos²(t) = - cos²(t).(cos(t))' = - u².u'

Donc, une primitive : 2$\textrm -\fra{1}{3}u3 = 2$\textrm -\fra{1}{3}(cos(t))3

Mais cos(t) = 2$\textrm\sqrt{1-sin^2(t)} = \sqrt{1-(x-2)^2} = \sqrt{-x^2+4x-3}

Finalement une primitive est : 2$\textrm -\fra{1}{3}(\sqrt{-x^2+4x-3})^3 = -\fra{1}{3}(-x^2+4x-3)^{\fra{3}{2}}

Avec ma méthode :

2$\textrm (x-2)\sqrt{-x^2+4x-3} = -\fra{1}{2}\sqrt{-x^2+4x-3}\times (-2x+4)\\ \\ \\ = -\fra{1}{2}(-x^2+4x-3)^{\fra{1}{2}}\times (-2x+4) = -\fra{1}{2}(U)^{\fra{1}{2}}\times (U^')

Une primitive :

2$\textrm -\fra{1}{2}\times\fra{1}{\fra{1}{2}+1}(-x^2+4x-3)^{\fra{1}{2}+1}\\ \\ \\ = -\fra{1}{3}(-x^2+4x-3)^{\fra{3}{2}}

Posté par
uncorse13re : intégrale 06-11-09 à 01:25

Ah ok je savais pas faire ça...moi il me semblait qu'il fallait utiliser ARCSIN...mais bon
peut-etre je me trompe...je pense que lundi j'aurais la correction...donc jla posterais pour
que tu vois si c'est pareil...

Merci bcp bcp pour avoir pris le temps de rép...et puis à lundi surement et bonne continuation

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale 06-11-09 à 01:53

Je veux bien regarder la méthode employée par le correcteur.

Bon week end et à lundi.


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