Niveau maths spé

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Posté par
LudoGri 03-01-10 à 14:51

Bonjours je doit résoudre cette intégrale:

$\int_0^{1} \frac{1}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}} dx$

Quelle voix est la plus efficace?

Posté par re : Intégrale 03-01-10 à 15:05

Erreur de frappe dans l'énoncé:

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}} dx$

La parité de la fonction permet de calculer l'intégrale entre 0 et 1 et de la multiplier par deux
J'ai essayé de faire un changement de variable: x = sin t ce qui me donne ensuite:

$2\int_{0}^{1} \frac{1}{1+sin^2 t} dt$

Comment faire ensuite?

Posté par re : Intégrale 03-01-10 à 15:49

Bonjour,

Tu peux essayer le classique u=tg(t/2) qui amène une fraction rationnelle en u mais je ne garantis pas le résultat (ni que ce soit facile)

Attention aux changements de bornes lors des changements de variables !

Posté par re : Intégrale 03-01-10 à 16:12

Pour faire sauter le changement de variable x = sint donne

₀¹.... = ₀^/2 1/(1 + sin²) = ₀⁺1/(c + y²)dy = /22
_{Sauf erreur}

Posté par re : Intégrale 03-01-10 à 16:15

Bonjour kyjbm,

Quel changement de variable introduis-tu ?
Que sont c et y ?

Posté par re : Intégrale 03-01-10 à 16:22

J'ai essayé et ça ne conclu pas...

$J = 4\int_0^1\frac{1+u^2}{(1+u^2)^2+4u^2}du$

Posté par re : Intégrale 03-01-10 à 16:47

Comme la fonction est paire, on peut faire x=cost, ce qui donne dt/(1+cos²t) entre 0 et /2

On peut ensuite faire u=tan(t), d'où on obtient du/(2+u²) entre 0 et +

Finalement on trouve bien le résultat donné par kyjbm (merci )

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