g : t t + ln(t) de ₊^* vers est stictement croissante , Inf(f) = - et sup(f) = + . Il existe donc un seul a > 0 tel que g(a) = 0 .
On a : a > 1/2 puisque 2g(1/2) = 1 - ln(4) = ln(e/4) < 0 .De plus pour t < a   g(a +t) = a + t + ln(a + t) = t + ln(1 + t/a) (1+1/a).t (qd t 0).
Soit f : t cos(t)/g(t) de ]0 , a[ ]a , +[ vers . f est continue .
Si U : x _1/2^x f   de ]0 , a[ vers    et   V : x   _x¹ f  de   ]a , +[ vers on a :

U(x) - (qd x a-0) et  V(x) + (qd x a+0)

Je ne vois pas ce que l'utilisation de l'expression " intégrale convergente " ou " intégrale divergente " apporterait de plus .

Salut kybjm.

Je n'ai pas compris à la deuxième ligne ceci : a + t + ln(a + t) = t + ln(1 + t/a)

Bref, on me demande la nature de l'intégrale, j'aimerais bien pouvoir répondre à cette question. Et dans ta démonstration je ne comprends pas pourquoi tu aboutis à -inf et +inf pour limites respectives de U et V en a.

1."Je n'ai pas compris à la deuxième ligne ceci : a + t + ln(a + t) = t + ln(1 + t/a)"

a + t + ln(a + t) = -ln(a)  + t + ln(a + t)  ( puisque a + ln(a) = 0 )
                   = t + ln((t + a)/a) = t + ln(1 + t/a)

2. " -inf et +inf pour limites respectives de U et V en a "
Je n'ai jamais dit ça .
  J'ai dit :  Inf(f) = Inf { f(t) | t < 0 } = - puisque f(t) - (qd t 0 +)
et Sup(f) = ... = + puisque f(t) + (qd t   + )
On peut alors appliquer le th des VI (il y a des (x,y) où x > 0 , y > 0 tel que f(x) < 0 <  f(y) )

Les valeurs des limites de U et V  résultent d'un th de cours.