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Integrale

Posté par
sami-dh 24-01-10 à 21:06

Salut à tous

J'ai besoin d'un coup de main pour faire cette question :

On pose I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(tan(x))^n dx

aprés avoir trouver K_n+K_{n+2}=\frac{1}{n+1} on me demande de trouver une expression de Kn en fonction de n;

ce que j'ai fait:
je commence par K_n=\frac{1}{n-1}-K_{n-2} je remplace K_{n-2} par son expression puis je continue je tombe sur la forme:

K_n= -\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-5}+\frac{1}{n-7}+... mais j'arrive pas à exprimer sous une forme concrète avec sigma

Merci

Posté par
rhomarire : Integrale 24-01-10 à 21:25

je te fais confiance pour ce qui precede
\sum_1^{ \frac {n-2}{2} } \ \ \frac{1}{n-(2k+1)}si n est pair
\sum_1^{ \frac {n-3}{2} } \ \ \frac{1}{n-(2k+1)} si n impair

Posté par
rhomarire : Integrale 24-01-10 à 21:26

dans la somme a partir de 0

Posté par
sami-dhre : Integrale 24-01-10 à 21:46

Salut

Merci pour la réponse

apres on nous demande de démontrer que la suite Kn tend vers 0 pour déduire que ln(2)=lim(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{(-1)^n}{n}) et \frac{\pi}{4}=\lim(1-\frac{1}{3}+...+\frac{(-1)^n}{2n+1} ;

je pensais à trouver Kn sous l'une des deux formes proposées;

Posté par
Narhmre : Integrale 24-01-10 à 23:34

Bonjour à vous deux

La derniere relation que tu as écrit est fausse sami et donc les autres formules proposées par rhomari le sont aussi.
Pour 3$ I_n=\Bigint_{0}^{\fr{\pi}{4}} \ \tan^n(x)dx, tu peux montrer que :

3$ \forall n \in\mathbb{N}, \ I_{n+2}=-I_n+\fr{1}{n+1}, ca c'est ok.
Ensuite je te laisse montrer par récurrence que :
3$ \forall n\geq 2 \ , \ \left\{ \text{ si } n=2p \ : \ I_{2p}=(-1)^p\[I_0-\Bigsum_{k=0}^{p-1}\fr{(-1)^k}{2k+1}\] \\ \text{ si } n=2p+1 \ : \ I_{2p+1}=(-1)^p\[I_1+\Bigsum_{k=1}^p\fr{(-1)^k}{2k}\]

Je pense que c'est ce qu'on attend de toi vu les questions qui suivent.
Si tu calcules explicitement I0 et I1, tu verras le lien direct en utilisant la limite de la suite In.

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