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Intégrale à n+1 zéros distincts [rédaction]
Bonsoir,
Il faut que je montre que que s'il existe n telle que l'intégrale de a à b de x^k*f(x) vaut 0 pour tout k dans {0,1,...,n}, alors la fonction f admet n+1 zéros distincts.
Alors on me dit que je peux poser un polynome de degré inférieur à n tel que l'intégrale de P(x)*f(x)=0
Si je comprends bien ce que ca donne, on aura alors par linéarité que chaque monome multiplié avec f a une intégrale nulle.
Cependant, je ne vois pas vraiment comment je peux rédiger clairement ce problème.
A la première étape j'ai donc l'intégrale de af(x) avec a constante qui vaut 0... C'est évident que si f n'est pas la fonction nulle alors elle admet au moins un zéro. Cependant, encore une fois, la, je ne vois pas vraiment comment rédiger la démonstration d'une chose qui semble si simple (peut être par l'absurde, mais comment ?)
Apres, je vais devoir faire ca à chaque étape, mais je ne vois pas comment expliquer clairement que les 0 seront alors forcément distincts (encore une fois avec l'absurde ?)
Merci de votre aide
S'il vous plait ?
Je pense que l'exercice ne doit pas être si dur que ca, car c'est un exo de kholle
IL faudrait fournir correctement la question qui t'est posée :
Je pense que "ta f" est continue, non ?
J'écrirai 
au lieu de ab.
Soient a et b des réels tels que a < b ,n 
et f : A = [a , b] 
continue telle que Pf = 0 pour tout P n[X] = E(n) .
Supposons que f ne s'annule pas plus de b fois .
Soit Z l'ensemble des x ]a , b[ tels que f(x) = 0 et qui vérifient "
> 0 tel que pour 0 < |t - x| < on ait (t - x)f(t) < 0 ". ( Z est ce qu'on appelle l'ensemble des points de A où f n'annule en changeant de signe .) On a p = card(Z) 
n .
Si p = 0 on a : f 
0 ou f 0. Alors f = 1.f = 0 ( 1 E(n) ) donc f = 0 et Z est infini ce qui est contraire à ce qui est supposé.
Supposons 1 p n et soient a1,....,ap les réels qui vérifient Z = {a1,....,ap } et a1<....< ap . Supposons que sur ]a , a1[ on ait f > 0 (sinon on remplace f par -f qui a les mêmes propriétés que f)
Posons alors P = (-1)p(X - a1)....(X - ap) . On a P.f 0 et P E(n) donc P.f = 0 . Comme P.f est continue et 0 on a P.f = 0 donc f(x) = 0 si x A \ {a,a1,....,an,b} . C'est contradictoire avec
ce qui est supposé.
f n'annule donc au moins n + 1 fois .
Remplace Supposons que f ne s'annule pas plus de b fois par Supposons que f ne s'annule pas plus de n fois , bien sûr !.
.
f(x)=0 
x1/f change de signe de part et d autre(sinon f sera de meme signe et l integral ne s annulera pas )
(x-x1)f(x)=0 de meme il existe un x2
/(x-x1)f(x) s annule de part et d autre de x2
x
2x1......
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