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Intégrale cosinus

Posté par
benji1801 26-05-09 à 18:01

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider pour cet exercice svp :
_________________________________________________
On considère la suite de terme générale :

In = \Bigint_{0}^{\pi{}/2} cos^{n}xdx où n un entier naturel

1) Transformer In à l'aide du changement de variable t = tan(x/2).

2) Soit un entier naturel n
a) Montrer que pour tout réel t, on a (1 + t2)n >= 1 + nt2.

b) En déduire que In \le 2\Bigint_{0}^{1} \frac{1}{1 + nt^2}dx

3) Montrer que lim In = 0.
________________________________________________

Alors voilà ce que j'ai fais :

1)
t = tan(x/2), \\ dt = 1 + tan(x/2)^2dx = (1 + t^2)dx , \\ dx = \frac{dt}{1 + t^2}

et cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Ensuite je change les bornes d'intégration, je remplace x et dx par leur valeur en fonction de t, et j'obtiens :

In = \Bigint_{0}^{1} \frac{(1-t^2)^n}{(1+t^2)^n+1}

2) a) Pour cette question, j'ai fais avec les coefficients binomiaux, donc là pas de problème.

b) Voilà ici je bloque.... :/ Par où partir... merci.


Je pense qu'en fait j'ai du mal faire le changement de variable à la question 1 non ?

Merci !

Posté par
benji1801re : Intégrale cosinus 26-05-09 à 18:02

Oups petite erreur à la dernière expression de In :

In = \Bigint_{0}^{1} \frac{(1-t^2)^n}{(1+t^2)^{n+1}}dt

Posté par
eriore : Intégrale cosinus 26-05-09 à 18:15

dans le changement de variable, il y a un *1/2 dans dt=... qui vient de la dérivation du terme x/2, d'où un 2 qui apparaît. Ca peut peut-être simplifier

Posté par
benji1801re : Intégrale cosinus 26-05-09 à 18:17

A oui effectivement^^

Je vais recommencer :p

Merci

Posté par
benji1801re : Intégrale cosinus 26-05-09 à 18:39

j'obtiens :

In = \Bigint_{0}^{1} \frac{2(1-t^2)^n}{(1+t^2)^{n+1}}dt

Ca m'arrange pas beaucoup en fait :s

Posté par
eriore : Intégrale cosinus 26-05-09 à 18:44

On peut majorer au numérateur par 2, au dénominateur par 1+nt2, non?

Posté par
benji1801re : Intégrale cosinus 26-05-09 à 18:56

A oui!!

In = \Bigint_{0}^{1} \frac{(1-t^2)^n}{(1+t^2)^n+1}

Donc In = 2\Bigint_{0}^{1} \frac{(1-t^2)^n}{(1+t^2)^n}\frac{1}{1+t^2}dt

1\le{}t^2 donc 1-t^2\le{}0 donc (1-t^2)^n\le{}1

et au dénominateur 1+nt^2\le{}(1+t^2)^n

Donc \frac{(1-t^2)^n}{(1+t^2)^n}\le{}\frac{1}{(1+t^2)^n}

Et \frac{1}{(1+t^2)^n}\le{}\frac{1}{1+nt^2}

Donc \frac{(1-t^2)^n}{(1+t^2)^n}\le{}\frac{1}{1+nt^2}

Après etc... je vois^^

Merci


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