La première intégrale est une fonction de x.
Si sa dérivée par rapport à x et nulle, cette intégrale ne dépend pas de x. En particulier pour x=0.

Je n'ai pas bien suivi là... On veut montrer que l'intégrale entre deux points séparés par une période T est égale quelques soient ces points, en particulier égale à celle entre 0 et T

Quelqu'un a-t-il une piste pour effectuer un changement de variable efficace ? Ou une relation de Chasles foudroyante ?

Bonjour
Chasles pour couper de x à T et de T à T+x. dans la deuxième, poser u = x-T pour revenir de 0 à x et re-Chasles ?

Bonjour Lafol !

Je ne vois pas bien pour le changement de variable. Que devient l'intérieur du f(t) ? Et quelle technique pour ne pas se tromper ? Merci

Bonjour,

pourquoi vouloir faire un changement de variable ?
Il y a bien plus simple : Essaie plutôt de suivre la piste indiquée : dérivation et c'est immédiat...

D'accord. Merci JJa. C'est que je ne vois pas trop comment faire en dérivant (?)

Jja : tu as besoin de la continuité de f. comme il n'en a rien dit, je l'ai juste supposée intégrable et T-périodique

l'intérieur du f(t) ne change pas, justement en raison de la période T

Bonjour Dcamb,

il est implicite que f(t) est intégrable, si non l'écriture de l'énoncé n'aurait aucun sens. f(t) a donc des primitives et ces primitives sont dérivables et leur dérivée est égale à f(t). On peut donc dériver l'intégrale définie :

Il y avait une faute de frappe à la fin. Après correction :

il est implicite que f(t) est intégrable, si non l'écriture de l'énoncé n'aurait aucun sens
Bien sur, mais intégrable ne signifie pas que la fonction f soit continue, dans ce cas, oublie tout de suite l'idée de la dérivation...

Ce n'est pas vrai que l'intégrale de f sur [a,b] soit égale à une différence de primitives F(b)-F(a), c'est vrai si f est continue, mais sinon c'est faux.

Un exemple tout bête:

La fonction f qui vaut 0 sur [-1,0] et 1 sur [0,1] que tu peux prolonger ensuite par périodicité sur R.

l'intégrale de f entre -1 et x vaut 0 sur [-1,0] et x sur [0,1].
On a un point anguleux en 0, la dérivée à droite vaut 1 et la dérivée à gauche vaut 0 ...

D'une façon générale, on ne peut même pas affirmer que la dérivée de l'intégrale de f est égale à f ...

Ta méthode ne marche bien que si f est continue.

merci otto
il me semblait bien aussi qu'avec une f non continue son plan pouvait foirer ....
(c'est vrai que les programmes actuels en terminale en France font tout pour ancrer l'idée que seules les fonctions continues sont intégrables....)

Bonjour lafol .
Effectivement c'est une erreur et c'est également supporté par l'idée qu'une intégrale est une différence de primitives puisque cela suppose l'existence de primitives, donc que f vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et donc ca confirme une certaine propriété de continuité pour f.

D'une façon générale, on ne peut pas affirmer que F'(x)=f(x) où , mon exemple en est un puisque F n'est pas dérivable.
On peut toujours affirmer que F'(x)=f(x) presque partout, ce qui est le cas de mon exemple, mais c'est également faux. L'exemple classique est celui où F est l'escalier de Cantor. F'=0 presque partout et F ne peut donc pas être égale à l'intégrale de sa dérivée, pourtant F est continue. Ce qui prouve que la continuité n'est pas une notion suffisament puissante pour avoir la généralisation du théorème fondamental que l'on aimerait pour des fonctions plus "exotiques". Une bonne notion est celle de l'absolue continuité.