Bonjour,
merci,
svp.
Ta question est vague ...
Il y'en a beaucoup ...

Il existe des fonctions non Riemann intégrables et qui sont Lebesgue intégrables par exemple ...

on a vu que si f de [a,b] ds R bonée alors f est intégrable au sens de Riemann sur [a,b]si et seullement si l'ensemble des point de discontinuité de f est µ-negligeable ou µ est la mesure de lesbegue
et dans ce cas f est µ_integrable sur [a,b] et les integrales coincides
c un theorème mais la question que se pose qu'on a etudié l'integrale de riemann sans parler du lesbegue

La surface sous la courbe est assimmilée à une somme de rectangles dans le concept de Riemann. Si la fonction varie beaucoup sur de petits intervalles alors cette décomposition n'est pas adaptée. Il vaut mieux faire une découpe horizontale et prendre tous les domaines où y_n-1< y < y_n.
La notion de mesure intervient pour le domaine de la variable x. En physique on peut avoir x une distance, alors la mesure entre deux points est sa distance de séparation.