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Intégrale de Wallis

Posté par
poissonium 27-04-09 à 21:06

Bonsoir à tous !

J'ai I_{n} = \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^n x dx

J'ai montré que (I_n) est décroissante et positive.
Je sais aussi que nI_nI_{n-1} = \frac{\pi}{2}

Et j'aimerais montrer que :

\sqrt{\frac{\pi}{2(n+1)}} \leq I_n \leq \sqrt{\frac{\pi}{2n}}

Quelqu'un aurait-il une idée ? Merci.

Posté par
gui_toure : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 21:31

Salut !

Pour la deuxième inégalité, tu peux dire 3$nI_n^2 \le nI_nI_{n-1}=\fr{\pi}{2 car (In) est décroissante

Tu divises par n, et tu appliques la racine carrée .. et c'est gagné !

Même astuce pour la première inégalité, sauf que les indices sont pas les mêmes

Posté par
amauryxiv2re : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 21:38

Et pour l'autre inégalité c'est pareil en majorant (n+1)In2 par (n+1)InIn+1 ...

Posté par
poissoniumre : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 21:43

Bien bien !
Merci gui_tou !

Dernière question, comment trouver un équivalent de I_n ?

Posté par
veledare : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 21:43

bonsoir,
tu sais que I_{n+1}\le{I_n}\le{I{n-1}}puisque la suite est decroissante
tu en déduis I_nI_{n+1}\le{I_n.I_n}\le{I_n.I_{n-1}} en multipliant par I_nqui est positif
d'où
\frac{\pi}{2(n+1})\le{I_n^2}\le\frac{\pi}{2n}
tu passes aux racines carrées...

Posté par
veledare : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 21:46

bonsoir guitou
je suis un peu lente à taper

Posté par
poissoniumre : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 21:55

Merci veleda

Une idée pour les histoires d'équivalence ?

Posté par
veledare : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 22:02

tu divises chaque membre de la double inégalité par\sqrt{\frac{\pi}{2n}}
à droite tu as 1 il reste à vérifier que la limite du membre de gauche c'est bien 1 quand n->+oo

Posté par
poissoniumre : Intégrale de Wallis 27-04-09 à 22:12

Bien vu

Bonne soirée !


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