Utilise le fait suivant
Si (E,T,m) est un espace mesuré et si f et g sont mesurables 0 et non négigeables  on a (f.gdm)²) (f²dm).(g²dm)

De là résulte d'ailleurs que si , sont dans L²(E,T,m) alors . L¹(E,T,m)

Sous l'intégrale je n'ai pas deux fonctions élevées au carrée, juste avant "du" c'est y indice 0 (la notation de l'exercice veut que l'indice soit placé comme un exposant). En fait dans la suite de l'exercice on montre que lim quand t tend vers 0+ de y(x,t) est égale à y⁰(x).

M'enfin !!

y° appartient à L²(R) (c'est ton hypothèse)

Pour chaque (x,t) , u exp [-(x-u)²/4t] appartient à L²(R) (c'est vrai et facile à voir)
donc u y⁰(u).exp [-(x-u)²/4t] est dans L¹()

C'est tout.

Ce que "kybjm" trouve évident à voir ne l'est pas pour moi. J'avais fait le même raisonnement que "kybjm" et je savais que je devais montrer que cette exponentielle est dans L² mais je n'y arrive pas il est bien là mon problème, je ne vois pas par quoi je dois majorer (je pense qu'il faut majorer par une fonction qu'on sait dans L² mais je ne vois pas laquelle). J'aimerais qu'on m'éclaire s'il vous plaît, je ne peux pas me contenter de dire que cette exponentielle est dans L² sans que je comprenne pourquoi.

Merci.

Soit f : x exp(-x²) de dans .

x²f(x) tend vers 0 quand x tend vers +. On a donc c = Sup{x²f(x) ; x 0} < + et ₁⁺ f cx^-2dx = c.Cela entraine que 0 < f < +

Pour montrer que u exp [-(x-u)²/4t] appartient à L²(R) on fait un changement de variable pour se ramener à f

Bonjour, pour le changement de variable il me suffit de poser x-u/2t = X et après le changement de variable j'aurais le coefficient 2t devant mon intégrale ce qui ne change pas le résultat.

Cependant là il me reste à prouver sur l'intervalle - ;1 :

Je peux majorer mon exponentielle par exponentielle de zéro, j'obtiens donc sur les bornes - ;1:            
exp - (x-u)²/4t < exp 0 = +

Par contre dans votre raisonnement la limite de x²f(x) quand x tend vers + n'est pas une forme indéterminée ?? (+ 0)

1.exp(t)/t tend vers 0 quand t tend vers + (c'est du cours!) donc  x²f(x) tend vers 0 quand x tend vers +.

2.f est paire et continue donc 0 < f = 2₀¹f + 2₁⁺f < +

Je ne comprends pas ton 2. Un intégrale sur R est égale à deux fois l'intégrale sur 0, 1 plus deux fois l'intégrale sur 1, l'infini ????

Enfin bon quoi qu'il en soit la démo est fausse, j'ai corrigé cette question avec mon professeur, vu que je dois montrer que ma fonction est bien intégrable il fallait que je montre que c'est dans L² donc qu'elle est DE CARRE INTREGRABLE, il fallait calculer l'intégrale du carré de la fonction. Comme (exp x)² = exp 2x on aura une simplification avec les 2 et il restera intégrale de exp-(x-u)²/2t la on fait un changement de variable afin de retomber sur l'intégrale de Gauss et on voit que notre intégrale est fini donc la fonction appartient à L².

Comme y° est dans L² la fonction exp aussi alors le produit est dans L1 eton peut conclure que la y(x,t) existe.