Niveau école ingénieur

Integrale double

Posté par
mak_le_ouf 11-12-08 à 23:18

Bonjour,

Voila, je dois calculer une intégrale double en utilisant un changement de variable.
$\int\int_D exp(\frac{(x^3+y^3)}{xy}) dx dy$ avec le domaine D = { $(x,y)\in\mathbb{R}^2, y^2 > ax, x^2 <ay$ }

On pose le changement de variable $x = vu^2 et y = uv^2$ .(donné par l'énoncé)

Après le changement de variable, j'obtiens comme Jacobien $u^2v^2$ et mon intégrale devient :

$\int\int_D exp({(u^3+v^3)})u^2v^2 dx dy$

Je me dis que je suis sur la bonne voie car je récupère $f(u)^{'}exp(f(u)^3)$ et $f(v)^{'}exp(f(v)^3)$ avec un facteur $\frac{1}{9}$

Par contre je n'arrive pas à récupérer les bornes d'intégration.

lorsque je modifie mon domaine (c'est la condition que $y^2 > ax$ ), d'intégration j'obtient :

$u^2v^4>au^2v$
$u^2v^4-au^2v>0$ $u^2v(v^3-a)>0$

Donc j'obtiens une condition sur v (indépendante de u) :

$v(v^3-a^{{1/3}^3^} = (v-a^{1/3})*(v^2 + a^{2/3} + va^{1/3}) > 0$

je mets sous forme canonique et je trouve que mon polynome du second degré est toujours positif donc ma condition sur v est que $v\in [a^{1/3},+\infty[$

ce qui me donnerait une integrale non finie...

Je souhaiterais que l'on m'éclaire sur le calcul de mes nouvelles bornes..

Merci d'avance!

Posté par re : Integrale double 12-12-08 à 13:34

bah prend une feuille, et dessine la zone définie par :
{y²>x et x²<y}.
tu verras que la zone est en fait la partie sous racine (x) et au dessus de x² cad :
y>x² et y<racin(x).

avec ca je pense que tu peux visualiser la zone, et donc trouver tes nouvelles bornes ...

Posté par re : Integrale double 12-12-08 à 13:49

Mais oui!!! donc en fait j'integre y entre $a^{1/3}$ et $\sqrt{x}$ .. Donc je modifie cette condition apres mon changement de variable...

Merci bcp!!

je reviens poster ma solution...

Posté par re : Integrale double 17-12-08 à 00:30

Bonsoir,

(désolé de pas avoir répondu plus tot mais je suis en semaine d'examens..)

Pour mon nouveau domaine je trouve $D = {(u,v)\in\mathbb{R}^2, 0<v<a^{1/3} et 0<u<1}$

Donc apres le calcul, je trouve que $\int\int_D exp({(u^3+v^3)})u^2v^2dxdy =exp(1) + exp(a) - 2$

Posté par re : Integrale double 17-12-08 à 00:32

Mais j'ai toujours du mal à comprendre, comment bien modifier le domaine sans suivre une quelconque intuition.

Je passe cette matière demain en examen mais ce n'est pas tant le résultat qui m'importe mais plus une méthode générale pour faire apparaitre les nouvelles bornes.

Merci beaucoup pour la piste qu'il fallait suivre..

Posté par re : Integrale double 17-12-08 à 13:42

le plus important c est de visualiser les bornes en faisant une figure ! Apres les bornes pour Fubini et ben elles sont simples car tu les visualises.

Voila !

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