Niveau maths spé

Intégrale double

Posté par
SnK 23-05-09 à 12:39

Bonjour à tous !

Alors...
Soit deux points E(A,0) et F(0,A) dans un repère cartésien, et deux cercles de rayons A, l'un de centre E, l'autre de centre F. Soit D l'intersection de ces deux disques.

Voilà, à l'aide des intégrales doubles et d'un changement de variable, je dois réussir à calculer D.

Je connais l'équation d'un disque, donc j'ai pensé que l'ensemble D serait l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient les équations des deux disques,soit :

(x + A)² + y² A²
x² + (y + A)² A²

Ce qui donnerait...

x² + 2xA + y² 0
x² + 2yA + y² 0

Mais je ne sais pas comment continuer...

Sinon, qui dit changement de variable, dit souvent passage en coordonnées polaires, ce qui s'appliquerait bien ici, mais je bloque :

x A + Acos
y Asin
x Acos
y A + Asin

Et sachant que A est positif, ca donnerait...

x Acos
y Asin

Ce qui reviendrait à un cercle de rayon A et de centre O,origine du répère, mais ce n'est pourtant pas du tout équivalent ?

Merci d'avance !

Posté par re : Intégrale double 23-05-09 à 12:51

Bonjour.

La symétrie de ton domaine par rapport à la droite y = x te permet d'envisager deux intégrations.

Pour la première :

$2$\textrm 0 \le \ \theta \ \le \ \fra{\pi}{4} \ et \ r = 2Asin(\theta)$

Pour la seconde :

$2$\textrm \fra{\pi}{4} \le \ \theta \ \le \ \fra{\pi}{2} \ et \ r = 2Acos(\theta)$

Posté par re : Intégrale double 23-05-09 à 13:02

Comment arrive-t-on à ces résultats ?

Posté par re : Intégrale double 23-05-09 à 13:05

Equations polaires des deux cercles.

Posté par re : Intégrale double 23-05-09 à 13:20

1 - L'équation du cercle de centre (0;A) n'est pas (x+A)²+y² A²
C'est plutôt : (x-A)²+y² A²

2 - Les dont tu parles ne sont pas tous les mêmes !

Je te suggère de couper ta zone par des droites parallèles à Ox par exemple.

Soit $\alpha$ un nombre compris entre 0 et A. Cherchons les abscisses des point intérieurs au cercle de centre E(A;0) et de rayon A avec la droite d'équation $y=\alpha$ .

Les points du disque sur cette droite sont tels que :

$(x-A)^2+\alpha^2 \le A^2$
$(x-A)^2 \le A^2-\alpha^2$

$A-\sqrt{A^2-\alpha^2}\le x \le A+\sqrt{A^2-\alpha^2}$

Cherchons les abscisses des point intérieurs au cercle de centre F(0;A) et de rayon A avec la droite d'équation $y=\alpha$ .

Les points du disque sur cette droite sont tels que :

$x^2+(\alpha-A)^2 \le A^2$
$x^2 \le A^2-(\alpha-A)^2$

$-\sqrt{A^2-(\alpha-A)^2} \le x \le \sqrt{A^2-(\alpha-A)^2}$

Less points de la zone qui t'intéresse, c'est à dire les points qui sont à la fois intérieurs aux deux disques sont tels que :

$A-\sqrt{A^2-\alpha^2} \le x \le \sqrt{A^2-(\alpha-A)^2}$

Tu n'as plus qu'à calculer :

$\Large \displaystyle \int_{0}^{A} [\,\,\,\,\,\,\int_{A-\sqrt{A^2-y^2}}^{\sqrt{A^2-(y-A)^2}} dx]\,\,dy$

Pour vérifier ton intégrale double, tu peux toujours utiliser des méthodes élémentaires utilisées par les lycéens ! Mais j'ai bien compris qu'ici, on te demande effectivement de trouver cette aire en calculant une intégrale double ...

Sauf erreur, bien sûr !

Posté par re : Intégrale double 23-05-09 à 18:17

Merci pour votre aide, mais j'ai encore du mal à intégrer cette intégrale double...

Posté par re : Intégrale double 23-05-09 à 18:46

En polaires :

$2$\textrm \scr A = \Bigint\Bigint_Ddxdy = 2\Bigint_0^{\fra{\pi}{4}} \ \Big[\Bigint_0^{2Asin\theta}rdr\Big]d\theta$

Je trouve :

$2$\textrm \scr A = A^2(\fra{\pi}{2}-1)$

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