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intègrale double

Posté par
magiss 08-12-11 à 18:55

Bonjour,
On cherche à calculer \int \int_D (x^2+ y^2) dx dy avec D= \{(x,y) \in \R^2: y> 0, x^2+ y^2- 2 x < 0 \text { et } x^2+ y^2- 2 y > 0en utilisant les coordonnées polaires.

Voici ce que j'ai fais: on pose x= r \cos \theta et y= r \sin \theta. et on a alors (x^2+ y^2) dx dy= r^2 dr?

puis, pour calculer les bornes de l'intégrale, on a:
par x^2+ y^2- 2 x < 0 on pose x= r \cos \theta ety= r \sin \theta et on trouve que r^2- 2 r \cos \theta < 0 ce qui implique que r < 2 \cos \theta.

et par x^2+ y^2- 2 y > 0 on trouve que r > 2 \sin \theta
on intègre donc sur ]2 \sin \theta, 2 \cos \theta[;

Mais je n'arrive pas à achever. Comment l'intègrale double se transforme en une seule intègrale? et est-ce que (x^2+ y^2) dx dy= r^2 dr?

Posté par
kybjmre : intègrale double 08-12-11 à 19:42

..dxdy est à remplacer par rdrd (pour t'en souvenir , fais comme les physiciens qui parlent d'élément d'aire )
..As-tu fais un dessin pour voir D ?
..Ton nouveau domaine d'intégration est = { (r,) | 0 < < /4 ,2sin() < r < 2cos() } .
..Fubini te dit que (x² + y²)dxdy = r3drd = 0/4(2sin()2cos() r3dr)d

Posté par
magissre : intègrale double 08-12-11 à 22:09

J'ai fais un dessin, oui mais je n'ai pas pu le poster en effet, je voudrai bien voir qui est D.
x^2+ y^2- 2x est l'équation d'un cercle de centre (-1,0) et de rayon r_1= 1 et puisque dans D il s'agit de x^2+ y^2- 2x < 0 alors on prend l'interieur du cercle, et x^2+ y^2- 2y est l'équation d'un cercle de centre (0,-1) et de rayon 1 et  puisque dans D il s'agit de x^2+ y^2- 2y > 0 alors on prend l'exterieuer.

Mais pourquoi 0 < \theta < \frac{\pi}{4}? puisque dans D on a y > 0, alors r \sin \theta > 0 donc tout porte à croire que 0 < \theta < \frac{\pi}{2}. Comment on sait que c'est \frac{\pi}{4} au lieu de \frac{\pi}{2}?

enfin, pour dxdy= r dr d\theta est-ce qu'il y'a une manière simple de démontrer cette égalité?

Posté par
kybjmre : intègrale double 08-12-11 à 22:47

  ..Comment on sait que c'est  au lieu de ?
Pour avoir (rsin, rsin) dans D il suffit de prendre   dans [0 , ] ; mais pour avoir sin cos ....?
..Le remplacement de dxdy par rdrd se montre rigoureusement dans la théorie de l'intégration . Le théorème n'est pas trivial à prouver .

Posté par
magissre : intègrale double 09-12-11 à 12:35

Comment on voit qu'il faut trouver $\theta$ tel que \sin \theta \leq \cos \theta? je ne comprend pas.

Posté par
magissre : intègrale double 09-12-11 à 17:36

Bonjour

comment est-ce qu'on peut voir que si on écrit le domaine D=\{(x,y), y> 0, x^2+ y^2- 2x, x^2+ y^2- 2y > 0\} alors 0 < \theta < \frac{\pi}{4}?

Posté par
kybjmre : intègrale double 09-12-11 à 17:51

Si r > 0 , t [0 , ] et (rcos(t) , rsin(t)) D alors r² - 2rcos(t) < 0 < r² - 2rsin(t) donc sin(t) < cos(t) donc t [0 , /4] .


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