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intégrale double polaire

Posté par
uncorse13 19-11-09 à 16:22

Bonjour à tous

je viens vous demander de l'aide svp car je comprend pas les intégrales doubles en polaires...


voilà le sujet :


Calculer en polaire :

∫∫(dx dy)/(√x²+y²-4)

où le domaine est défini par 0 ≤ y ≤ x ≤ 2  et x²+y²>4

si vous pouviez bien me détailler comment on fait car je suis PERDU lol

merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:36

Bonjour

Ton domaine est forcément faux...car vide! si 0\leq y\leq x\leq 2, on ne peut pas avoir x^2+y^2 > 4.

Posté par
LeHiboure : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:37

Bonjour,

Il y a certainement un problème dans ton énoncé, si tu as 0 x y 2, alors tu as x²+y² 4, ce qui est incompatible avec ton autre condition x²+y² > 4...

Posté par
LeHiboure : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:38

Battu d'une tête par Camélia, comme d'hab

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:41

euh explique moi pourquoi alors ?

imaginons x = 1.9
          y = 1.7

1.9²=3.61
1.7²=2.89

3.61+2.89 > 4

c'est pas vrai ? de toute façon on la fait en TD cet exemple et donc le prof nous aurait dit s'il s'était trompé...

Posté par
Camélia Correcteurre : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:42

Mais non, mais non...

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:44

Bonjour à vous,

heu, ne peux-t-on pas avoir x=y=2, et donc x²+y²=8 ?

En fait, le domaine est bizarre.
Pour résoudre l'intégrale, je serais parti sur un changement de variables classique x=rcos() et y=rsin()
dxdy=rdrd si mes souvenirs sont exactes. On voit apparaître une intégrale assez simple à calculer.

Le problèmes, ce sont les nouvelles bornes.
Je trouve variant de pi/2 à pi/4 et r variant de 2 à 2/sin()

Si qq'un peut vérifier

Ptitjean

Posté par
LeHiboure : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:46

uncorse13 a raison, Camélia et moi on a fait la même gaffe, 0 x y 2 ça implique x²+y² 8...
c'est signe qu'il est temps, au moins pour moi, de sortir prendre l'air

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:51

Bon je vais vous mettre la correction que je comprend pas et que c'était pour ça que je vous demandez



x²+y²=4
C(0;0)
r=2

rho cos téta = x
rho sin téta = y

x²+y²=4
rho²cos²téta+rho²sin²téta=4
rho²(cos²téta+sin²téta)=4
rho=2

∫ (0=>∏/4) [∫ (2=>2/cos téta)  rho d rho /  √rho²-4


dsl j'arrive pas le latex et moi c'est le "∏/4" que je comprend pas d'où il sort

Posté par
Camélia Correcteurre : intégrale double polaire 19-11-09 à 16:54

Bien sur, désolée...

Bon alors, faisons-le!

Changement en polaire! x=r\cos(t), y=r\sin(t), le domaine 0\leq y\leq x est la partie du plan en dessous de la première bissectrice donc -3\pi/4\leq t\leq \pi/4, De plus 0\leq r\leq 2 et 2r^2 > 4 donc \sqrt 2\leq r\leq 2

Ca nous fait le domaine D=[\sqrt 2,2]\times [-3\pi/4,\pi/4]

dx\wedge dy=rdr\wedge dt donc finalement on trouve

\Large \bigint\bigint_D\frac{rdr\wedge dt}{r-4}=\bigint_{\sqrt 2}^2\frac{rdr}{r-4}\times\bigint_{-3\pi/4}^{\pi/4}dt

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 19-11-09 à 17:01

Bonjour,

Il faut que tu fasses un dessin de ton aire de définition.
Je te le mets en dessous
intégrale double polaire
Ton domaine est la zone rouge;
La condition x²+y²>4 est matérialisé par le cercle.

C'est pourquoi en posant le changement de variable, je pense pour ma part que teta varie de pi/2 à pi/4 et r varie de 2 à 2/sin(teta)

La solution de ton prof me semble prendre la condition 0yx2

A vérifier

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 19-11-09 à 17:04

Salut camélia, tu ne serais pas allée un tout petit peu vite
la condition x²+y²>4 montre que r est forcément supérieur à 2...

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 19-11-09 à 17:04

Voilà moi justement mon prof ma fait hachurer la partie symétrique à ta partie rouge...
et à la place de y=x j'ai le fameux "∏/4" que je sais pas d'où il sort
vous pouvez juste me dire si c'est un calcul ou si c'est une formule...pq j'ai beau cherché
je trouve pas...

je bloque après avoir trouvé RHO=2 comme je vous ai mis plus haut...

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 19-11-09 à 17:14

Oui en effet, c'est pa partie symétrique... Pardon c'est ma faute, j'avais en tête la condition 0xy2 alors que c'était 0yx2
Oups...

Donc prenons un point M dans ton domaine comme dans la figure ci-dessous
intégrale double polaire

En faisant varier M dans tout ton domaine rouge, tu peux voir que va varier entre O et /4
Pour r, c'est plus compliqué, puisque le domaine de variabilité de r dépend de . En fait r varie de 2 à 2/cos()

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 19-11-09 à 17:23

Le problème étant que je vois pas comment trouver le "∏/4" pk c'est pas "∏/6" par exemple
là c'est dans la correction que c'est marqué sinon j'aurais pas trouver tout seul...car
j'aurais pas pu tracer la droite que tu as nommé y=x

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 19-11-09 à 18:06

Reprenons les conditions une à une.

on a 0x2 et 0y2 donc les points vérifiant ces deux relations sont les points situés dans le carré rouge de coté 2 (figure 1 ci dessous)
La relation x²+y²>4 indique que les points sont à l'extérieur du cercle de centre 0 et de rayon 2 (Figure 2)
Enfin la relation yx indique que les points sont sous la droite y=x (Figure 3)
intégrale double polaire

Maintenant que tu as défini ton aire et j'espère compris la droite y=x

On peut voir que un point M dans cette aire est telle que est entre 0 (le point serait sur la droite des abscisses) et /4 (le point est sur la droite y=x).
A fixé, quelles sont les valeurs que peut prendre r ?
r est entre 2 (le point serait sur le cercle) et au 2/cos() (le point serait sur le bord du carré, on trouve la valeur de r par la relation de trigo)

D'où au final
\Bigint\Bigint \frac{dxdy}{\sqrt{x^2+y^2-4}}=\Bigint_{\theta=0}^{\pi/4} \Bigint_{r=2}^{\frac{2}{cos(\theta)}} \frac{r}{\sqrt{r^2-4}}drd\theta

Ptitjean

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 23-11-09 à 16:14

Slt à toi Ptitjean je suis désolé de te répondre que maintenant...mais j'ai pas pu me connecter du week-end....c'est vraiment génial ce que tu m'as fait j'ai compris presque tout :p

le seul truc qui me dérange c'est 2/(cos téta) que tu m'as expliqué par la relation trigo...mais je sais pas ce que c'est que cette relation finalement j'ai bien essayer de cherché mais j'ai pas trouvé et jsuis sur que c'est simple...si tu peux me dire


Il faudrait également que je comprenne la suite j'ai ça :

∫(2=>2/cos téta) (rho d rho)/(√rho²-4)


= [ √ (rho²-4) ] de 2 à 2/cos téta   => là ? comment on trouve ça...il est passé où le (rho d rho)/... ?
= √ ((4/cos²téta)  - 4)    => là je sais pas non plus lol
= √ (4((1/cos²téta)-1)))     => la c'est la mise en facteur
= √ 4 (1+tg²téta-1)    => là c'est la forme (1/cos²téta=1+tg²téta)
= √ 4tg²téta
= 2tg téta

= ∫ (0=>∏/4) 2tg téta


= ∫ (0=>∏/4) sin téta/cos téta   => là...?
= ∫ (0=>∏/4) -2-(sin/cos téta)   => ...
= [-2ln(cos téta)] de (0=>∏/4)   ...

= -2ln(√2/2)
= -2ln((2^1/2)/2)
= -2*(-1/2)ln2
= ln2

Voilà si tu peux m'expliquer ou si t'es pas là quelqu'un d'autre peut le faire...
merci d'avance

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 24-11-09 à 11:07

Bonjour

On était arrivé à l'intégrale I suivante :

I=\Bigint_{\theta=0}^{\pi/4} \Bigint_{\rho=2}^{\frac{2}{cos(\theta)}} \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2-4}}d\rho d\theta=\Bigint_{\theta=0}^{\pi/4} \(\Bigint_{\rho=2}^{\frac{2}{cos(\theta)}} \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2-4}}d\rho\) d\theta

On voit que l'on peut calculer l'intégrale en puis l'intégrale en ensuite.

On calcule donc d'abord \Bigint_{\rho=2}^{\frac{2}{cos(\theta)}} \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2-4}}d\rho

Ici tu devrais reconnaître une dérivée connue \frac{f'}{\sqrt{f}} où la primitive vaut 2f

donc \Bigint_{\rho=2}^{\frac{2}{cos(\theta)}} \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2-4}}d\rho=\Bigint_{\rho=2}^{\frac{2}{cos(\theta)}} \frac{2\rho}{2\sqrt{\rho^2-4}}d\rho=\[\sqrt{\rho^2-4}\]_{\rho=2}^{2/cos(\theta)}=\sqrt{\(\frac{2}{cos(\theta)}\)^2-4}-\sqrt{2^2-4}=\sqrt{\(\frac{4}{cos^2(\theta)}\)-4}=2\sqrt{1+tg^2(\theta)-1}=2tg(\theta)

On revient donc à
I=\Bigint_{\theta=0}^{\pi/4} 2tg(\theta) d\theta

A moins de connaître la forme de la primitive de tangente, le plus facile est de linéariser
tg(\theta)=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}

Donc I=\Bigint_{\theta=0}^{\pi/4} 2\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} d\theta

Et encore une fois, tu devrais reconnaître une forme dérivée connue \frac{f'}{f} (au signe prêt) où la primitive est ln(f)
I=\Bigint_{\theta=0}^{\pi/4} 2\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} d\theta =\[-2ln(\cos(\theta))\]_{\theta=0}^{\pi/4} = -2ln(\cos(\pi/4))+2ln(\cos(0))=-2ln(\frac{\sqrt{2}}{2})=-2ln(\frac{1}{\sqrt{2}})=ln(2)

Voilà les explications que je peux te donner.
Je te conseille tout de même d'apprendre les formes de dérivées usuelles pour les reconnaître dans les intégrales ou essayer de les faire apparaître.

Ptitjean

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 25-11-09 à 15:04

d'accords j'ai compris tout ce que tu m'as mis merci bcp bcp :p

par contre il reste juste ce point là que j'ai pas compris :

Citation :
le seul truc qui me dérange c'est 2/(cos téta) que tu m'as expliqué par la relation trigo...mais je sais pas ce que c'est que cette relation finalement j'ai bien essayer de cherché mais j'ai pas trouvé et jsuis sur que c'est simple...si tu peux me dire


si tu peux encore m'aider un tout petit peu :p

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 25-11-09 à 15:52

Je reprends la figure de ton domaine

intégrale double polaire

La zone grise est ton domaine.
Si on prend un point dans cette zone, en coordonnée polaire, on peut lui associer r et

Pour :
Si le point est en A, alors =0
Si le point est sur la droite (OC) (droite y=x), alors =/4
Donc on a bien pour tous les points de ton domaine 0/4

Pour r:
On fixe
r est compris entre les distances OM et OM' sur la figure.
OM vaut 2 (M est sur le cercle de rayon 2)
Pour OM', on prend le triangle rectangle OAM' dans lequel, par les formules de trigo on a cos()=OA/OM'
D'où r=OM'=OA/cos()=2/cos()
Finalement, 2r2/cos()

Ptitjean

Posté par
uncorse13re : intégrale double polaire 25-11-09 à 16:36

bobobobo bè vraiment Merci bcp à toi c'est super sympa d'avoir pris le temps de m'expliquer tout ça...

je dois dire que c'est vraiment compliqué quand tu débutes...mais bon je vais essayer de maitriser
cette méthode pour mon examen...merci encore bcp et puis à 1 prochaine peut-être

Amitié ++

Posté par
ptitjeanre : intégrale double polaire 26-11-09 à 10:08

De rien !

Bon courage pour la suite

Ptitjean


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