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Intégrale et comparaisons

Posté par
Dcamd 07-01-10 à 11:18

Bonjour,

J'ai un corrigé sous les yeux et je ne comprends pas du tout ce qui y est fait.

4$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} |cos x |(x+sinx)^{-\alpha}dx \ge ((n+1)\pi + 1)^{-\alpha} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} |cosx|dx \ge 2((n+1)\pi + 1)^{-\alpha}

Si vous pouviez me détailler les étapes, les astuces utilisées, ce serait vraiment gentil.

Dcamd

Posté par
esta-fettere : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 11:29

bonjour......

alpha est positif....


x + sinx est compris entre n pi et (n+1) pi +1

la fonction élévation à la puissance - alpha est décroissante.......

on obtient une minoration en remplaçant x + sin x par (n+1) pi +1

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 11:35

Merci esta-fette ! Maintenant j'ai compris la première partie.

Comment obtient t-on deux ensuite ?

L'intégrale de |cosx| vaut 0, non ?

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 11:52

A mon avis pour l'intégrale de ta valeur absolue de |cos| faut la couper en deux , dans un bout cos négatif et dans l'autre positif :p

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:03

Je m'explique

\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} |cos(x)|dx = \int_{n\pi}^{\frac{(2n-1)\pi}{2}} |cos(x)|dx + \int_{\frac{(2n-1)\pi}{2}}^{(n+1)\pi} |cos(x)|dx et ensuite voir suivant cas pair et impaire t'auras du -cos ou du cos

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:09

Bonjour g_le_q_ki_grat ! Je ne suis pas convaincu .

Ca donne 2 ça ?

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:10

si n pair (n = 2p) so :

\int_{2p\pi}^{(2p+1)\pi}|cos(x)|dx = \int_{2p\pi}^{\frac{(4p-1)\pi}{2}}(-cos(x))dx + \int_{\frac{(4p-1)\pi}{2}}^{(2p+1)\pi} cos(x)dx

Après jsais pas ça doit bien servir... ahaha

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:12

J'y ai vraiment cru Si n pair .... "jsais pas ça doit bien servir"  

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:17

héhé oui quand tu calcules ça tu dois trouver 2 ! eureka!

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:18

parce qu'il te reste -2 sin((4p-1)/2)\pi) = -2 * (-1) = 2 !

On peut aussi raisonner pour n impair ça marche aussi

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:44

excuse moi j'ai fais une erreur grossière, je rectifie au propre !

Si n pair ie n = 2p alors :

|cos (x)| = cos(x) si x est dans [2p\pi, \frac{(4p+1)\pi}{2}] (car cos(x) >0) et
|cos (x)| = - cos(x) si x est dans [\frac{(4p+1)\pi}{2}, (2p+1)\pi] (car cos(x) < 0).

Ainsi,

\int_{2p\pi}^{(2p+1)\pi} |cos(x)|dx = \int_{2p\pi}^{\frac{(4p+1)\pi}{2}} cos(x)dx - \int_{\frac{(4p+1)\pi}{2}}^{(2p+1)\pi} cos(x)dx = sin(\frac{(4p+1)\pi}{2}) - sin(2p\pi) - sin((2p+1)\pi) + sin(\frac{(4p+1)\pi}{2}) = 2sin(\frac{(4p+1)\pi}{2}) = 2 \times 1 = 2

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 12:48

Raisonnement similaire pour le cas cas où n est impair (n = 2p +1) , on trouve à ce moment là

-2 sin (\frac{(4p+3)\pi}{2}) = -2 \times -1 = 2

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 13:11

Ah, ok, je me demandais justement pourquoi le signe négatif.

Oui, c'est logique et astucieux en ce qui concerne la valeur absolue.

Merci g_le_q_ki_grat !

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 13:49

Autre chose, pourquoi |x+sinx|x-1

Une idée ?

Merci

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 13:52

En fait, pour ne rien déformer :

cos x (x + sin )- (x-1)-

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 13:52

(En valeur absolue pour le membre de gauche. Désolé)

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 15:32

Voyons on peut toujours essayer, mais dis moi, c'est pour x dans quoi ton inéquation ? [n\pi, (n+1)\pi]?

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 15:33

Oui, c'est bien ça. Merci

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 15:33

et je suis que ton \alpha est positif..

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 15:34

Aussi

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 15:49

Ok . Bon déjà, on peut dire que montrer une telle inéquation revient à démontrer que :

-(x-1)^{-\alpha} \le (cos x)(x + sin \alpha)^{-\alpha}\leq (x-1)^{-\alpha}

Bon déjà on a illico presto :   -1 \leq cos x  \leq 1

Mais on a aussi : -1 \leq sin \alpha  \leq 1

Et ça implique que x + sin \alpha \geq x - 1

donc   (x + sin \alpha)^{\alpha} \geq (x - 1)^{\alpha}  car \alpha positif

Par passage à l'inverse , on a alors :  (x + sin \alpha)^{-\alpha} \leq (x - 1)^{-\alpha}

Et donc ça a l'air d'aller

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 15:52

Merci beaucoup g_le_q_ki_grat.

Au final, c'est vrai que c'était plutôt simple ça. J'm'imaginais quelque chose de moins illico

Merci !

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 16:04

euh je crois que j'ai pas finis le raisonnement .. donc en vertu de l'encadrement du cosinus on a

- (x + sin \alpha)^{-\alpha}    \leq (cos x)(x + sin \alpha)^{-\alpha} \leq (x + sin \alpha)^{-\alpha}

et puisque  (x + sin \alpha)^{-\alpha} \leq (x-1)^{-\alpha} ben oui ça donne :

-(x-1)^{-\alpha}  \leq (cos x)(x + sin \alpha)^{-\alpha} \leq  (x-1)^{-\alpha}


Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué (j'avoue que des fois je passe par des méthodes bourrins)

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 16:08

Merci beaucoup

Des fois on n'arrive pas à faire trop simple, donc on fait compliqué (et tordu ).
Et quand on nous demande de faire compliqué, on n'y arrive pas non plus.

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 16:09

Et bien oui, comme pour ma série numérique j'y arrive toujours pas, à chaque fois que j'ai une idée ça coince encore grr

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 16:11

Celle avec le ln qui tend vers 2.2 "entre" certains rangs ?

Posté par
g_la_gratre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 16:16

non celle avec la série de terme général e - (1+ \frac{1}{n})^n

d'ailleurs oué la suite (ln(ln n)) elle diverge lentement ça continue à augmenter logique, j'ai fais une remarque complètement stupide d'ailleurs !

Posté par
Dcamdre : Intégrale et comparaisons 07-01-10 à 16:35

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