Pour la première le problème se pose en 0 et en +infini.
En zéro :
La fonction est équivalente à
Comme le signe est constant alors on peux en déduire sur la nature, 1/2 est inférieur à 1 donc elle est convergente en 0.
En +infini :
Intégrale de Bertrand puisque ln(1+x) est équivalente à ln(x).

Ok , et comme 3/2>1 donc elle converge aussi.
D'où la convergence de l'intégrale .

Par contre , j'ai encore du mal avec les deux autres .
(Ce n'est pas la peine de passer par un DL pour les 2 premières ? Est ce que l'équivalence suffit ?)

Et pour la troisième , je pense que la borne 1 impose que b<1 , mais ne voit pas pour l'infini .

Pour la deuxième le 1 est une fausse singularité c'est à dire on a aucun pb en ce point car il est fini et la fonction est prolongeable par continuité.
Le pb est à l'infini : une équivalence donne :
dans ce cas il faut multiplier par x^2.

Je ne vois pas l'utilité des DL ici puisque les équivalences donnent un résultat (les fonctions sont de signe constants).
Pour la dérnière,
Au voisinage de 1 :
La fonction est équivalente à l'intégrale est convergente si et seulement si b<1.
Au voisinage de +infini :  
La fonction est équivalente à
Elle est convergente si et seulement si 1<a+b.
Réunir les deux conditions.

Tu peux même calculer les intégrales si jamais tu veux t'amuser

x/(exp(x)-1) = x/[exp(x).(1-exp(-x))] = x.exp(-x).(1/(1-exp(-x))

Donc :



En utilisant le théorème de convergence dominée, on montre que l'on peut intervertir somme et intégrale et alors :



La calcul de l'intégrale se faisant via une IPP.

A bientôt

Bien évidemment, c'est toujours :


Faute de frappe ...

Le calcul me laisse perplexe car j'en déduit que la série converge alors ?!
Car en l'infini :
la fonction est équivalente à x/exp(x) ie à x donc elle diverge non ?

Merci de m'éclairer  !

Aucune proposition ?

salut

En l'infini la fonction est dominée par exp(-x/2) car

  et le critère de domination donne la convergence

Zut,

Est ce que c'est normale que la borne soit 1 et pas o comme dans l'énoncé ?

oui, je te laisse le soin de vérifier que converge

Ou avais je la tête (chasles bien sûr ...)

Mais vu que , il n'y a pas de souci en 0, on peut prolonger la fonction sous l'intégrale en une fonction continue sur IR₊