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Intégrale impropre

Posté par
Yaz 26-12-08 à 11:52

Bonjour à tous,


Un petit problème d'intégrale impropre, je ne parviens pas à prouver que exp(-t)/t dt converge en 0 (dans le cadre d'un exercice sur les transformés de Laplace).

Les DL et règles de négligeabilité ne fonctionnent apparemment pas (pas assez fin), j'ai aussi essayé une IPP sans succès. Comment procéder dans ce cas ?


Merci d'avance.

Posté par
gui_toure : Intégrale impropre 26-12-08 à 11:56

Bonjour

Dire qu'une intégrale converge en un point n'a pas de sens.

En revanche 4$\fr{e^{-t}}{t}\sim_0\fr1t et comme l'intégrale 3$\Bigint_0^1\fr{dt}{t} ne converge pas, ton intégrale ne converge pas!

Posté par
H_aldnoerre : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:01

Poser \Large u=ln(t). Donc \Large -exp(u)=-t et \Large du=\frac{dt}{t}.

Soit \Large \frac{exp(-t)}{t}dt = exp(-exp(u))du


Lorsque t tend vers 0, u tend vers -\infty. Et donc \Large exp(-exp(u)) tend vers 1. Je dirais donc que l'on peut prolonger par continuité par la valeur 1. Donc pas de problème.

A vérifier...

Posté par
H_aldnoerre : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:02

Ah, ben je me suis bien planté, bien vu guitou.

Posté par
gui_toure : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:05

salut H.

Posté par
Yazre : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:12

oK merci.

Ca m'étonne un peu à cause de la façon dont est posée la question :

on me demande dans la foulée de déterminer la valeur de lim x->0  exp(x)*exp(-t)/t dt (ou l'integrale va de 0 a +)

Il y a une chance que ca converge ça ?

Posté par
gui_toure : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:19

Ca m'étonne oui, parce que ok, 3$\Bigint_1^{+\infty}{4$\fr{e^{-t}}{t}}dt converge mais le hic est en 0 : 3$\Bigint_0^{1}{4$\fr{e^{-t}}{t}}dt ne converge pas.

Donc l'intégrale sur IR+ non plus.

A la limite si on case une racine carrée au dénominateur l'intégrale impropre converge ...

Ce qui est surprenant c'est la limite demandée : le exp(x) tend vers 1, donc la limite sera la valeur de l'intégrale impropre ..

Posté par
Yazre : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:23

Aie, c'est un sujet de concours pourtant. J'essaierais de voir de mon coté et je reviens vers vous si j'élucide le mystère !

En tout cas merci, (et à bientôt peut-être)

Posté par
H_aldnoerre : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:25

C'est quoi le concours ?

Posté par
gui_toure : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:26

Par curiosité, quel concours ? ^^

si on met une racine carrée, on tombe sur 3$\Bigint_0^{+\infty}{4$\fr{e^{-t}}{\sqrt t}}dt=2\Bigint_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi (la fameuse intégrale de Gauss)

Bon courage

Posté par
H_aldnoerre : Intégrale impropre 26-12-08 à 12:28

Vu comme ça guitou, c'est de suite plus dans l'esprit d'un concours.

Posté par
Yazre : Intégrale impropre 26-12-08 à 13:42

C'est un sujet de concours type prépa HEc, mais je ne saurais pas vous donner la banque d'épreuve, je pense que c'en est une de milieu de classement (Ecricome, Edhec ou EML)

Posté par
gui_toure : Intégrale impropre 26-12-08 à 13:48

oki oki

j'imagine que tu n'as pas le sujet sur internet ^^

Posté par
Yazre : Intégrale impropre 26-12-08 à 14:06

Non, mais je peux le recopier si vous voulez... Plus on est de fous ...

Posté par
gui_toure : Intégrale impropre 26-12-08 à 14:09

Non non te casses pas, si c'est l'énoncé alors il est faux, ou très vicieux : si ça se trouve c'est fait exprès pour voir les candidats qui ont tilté que y a un blème.

Tu sais le fameux :
"Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il lui est amené à prendre"

Posté par
Yazre : Intégrale impropre 26-12-08 à 14:11

Ca marche, alors c'est parti pour une petite série de prises d'initiatives ^^


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