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Intégrale impropre

Posté par
masterrr 19-10-09 à 21:35

Bonsoir,

Je dois justifier l'existence de l'intégrale suivante ainsi que la calculer.
Cependant, quelques points me posent soucis ; c'est pourquoi je viens vous solliciter !
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5$ \Bigint_{0}^{1} \frac{\ln(1-x^2)}{x^2} dx

La fonction 5$ f définie par 5$ \forall x \in ]0,1[, f(x)=\frac{\ln(1-x^2)}{x^2} est continue sur 5$ ]0,1[ et prolongeable par continuité en 0. Il me reste à lever le problème au voisinage de 1 pour prouver que l'intégrale précédente existe. Peut-on raisonner autrement que par le calcul de l'intégrale ?

Je bloque sur le calcul ensuite...

Soient 5$ \alpha et 5$ \beta tels que 5$ \alpha>0 et 5$ \beta \ge \alpha.

D'après le théorème d'intégration par parties, on a 5$ \Bigint_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln(1-x^2)}{x^2} dx=\left[ -\frac{\ln(1-x^2)}{x} \right]_\alpha^\beta-2\Bigint_{\alpha}^{\beta} \frac{dx}{1-x^2} et après décomposition en éléments simples, 5$ \Bigint_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln(1-x^2)}{x^2} dx=\left[ -\frac{\ln(1-x^2)}{x} \right]_\alpha^\beta-\Bigint_{\alpha}^{\beta} \frac{dx}{1-x}-\Bigint_{\alpha}^{\beta} \frac{dx}{1+x}=-\frac{\ln(1-\beta^2)}{\beta}+\frac{\ln(1-\alpha^2)}{\alpha}+\ln(1-\beta)-\ln(1-\alpha)-\ln(1+\beta)+\ln(1+\alpha).

Et en passant cette égalité à la limité lorsque 5$ \alpha tend vers 0 et 5$ \beta tend vers 1, je trouve une limite infinie...
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Merci d'avance pour votre aide !

masterrr

Posté par
LeHiboure : Intégrale impropre 19-10-09 à 22:03

Bonjour,

En raisonnant à la grosse louche, tu as, sur le domaine d'intégration :
ln(1-x²)/x² = (ln(1+x) + ln(1-x))/x² = ln(1+x)/x² + ln(1-x)/x²
Le comportement questionnable à la borne 1 provient clairement du terme ln(1-x)/x²
Or, au voisinage de 1, x² 1, donc ln(1-x)/x² ln(1-x)
avec un changement de variable 1-x = t, tu es ramené au comportement de ln(t)dt au voisinage de la borne 0.
Or une primitive de ln(t) est t.ln(t)-t, et tu sais que lim t -> 0 t.ln(t) = 0
La convergence est donc assurée en cette borne.
Maintenant, il te faut mettre tout ça en forme pour que ça soit "joli"

Posté par
masterrrre : Intégrale impropre 19-10-09 à 22:12

Bonjour et merci,

Effectivement, c'est le "joli" qui est le plus embêtant !

Et sinon concernant le calcul ? ...

Posté par
LeHiboure : Intégrale impropre 19-10-09 à 22:31

Au lieu de faire tendre et séparément vers 0 et 1, fais-les tendre ensemble en posant = 1- et en faisant tendre vers 0.
Sans en être certain, j'ai l'impression que ça devrait s'arranger par compensation des infinis...

NB J'ai un vague souvenir que ce "truc" qui vient de la physique quantique porte en nom, mais pour l'instant ça m'échappe encore.

Posté par
LeHiboure : Intégrale impropre 19-10-09 à 22:53

Ca me revient, ça s'appelle "convergence en valeur principale", il y a une page intéressante sur le sujet ici :

Posté par
LeHiboure : Intégrale impropre 19-10-09 à 22:54

D'ailleurs, ça ne vient pas de la physique quantique mais de Cauchy...

Posté par
fred26re : Intégrale impropre 20-10-09 à 00:07

Salut,

Alors combien trouvez-vous pour l'intégrale par la méthode de découpage en valeur principale suggérée par LeHibou?

Bonne soirée.


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