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intégrale impropre et équivalent

Posté par
comaths 25-11-09 à 17:40

Peut-on me donner une piste pour l'exo suivant :
Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de  f(x) = intégrale de x à +infini de (exp(-t)/t)dt

Posté par
comathsre : intégrale impropre et équivalent 25-11-09 à 19:40

peut-on m'aider !!!!
on doit trouver -ln(x)

Merci

Posté par
perroquetre : intégrale impropre et équivalent 25-11-09 à 20:35

Bonjour, comaths

En intégrant par parties
3$ \int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\, dt =\left[-\frac{e^{-t}}{t}\right]_x^{+\infty}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\, dt = \frac{e^{-x}}{x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\, dt

De plus
3$ \left|\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\, dt\right|\leq \frac{1}{x}\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\, dt

On en déduit le résultat recherché.

Posté par
LoLLoLLoLre : intégrale impropre et équivalent 25-11-09 à 20:37

Je sais pas si vous avez des theoremes poue les equivalences , moi en mp* j'en ai.

Posté par
comathsre : intégrale impropre et équivalent 25-11-09 à 20:41

Merci perroquet , mais je suis au voisnage de x=0 . Je ne pense pas que ce que tu as fait convienne . On doit normalement trouver -ln(x)
Je suis en PSI* et je n'ai pas les théorèmes sur les équivalents
comaths

Posté par
perroquetre : intégrale impropre et équivalent 25-11-09 à 20:58

Désolé. Une grosse distraction de ma part.  

3$ \frac{e^{-t}}{t}=\frac{1}{t}+\frac{e^{-t}-1}{t}

On intègre de x à 1, et on remarque que:

3$ 0 \leq\int_x^1 \frac{1-e^{-t}}{t}\, dt \leq \int_0^1 \frac{1-e^{-t}}{t}\, dt (finie)

3$ 0\leq\int_1^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\, dt \leq \int_1^{+\infty}e^{-t}dt=1

Et on arrivera à trouver l'équivalent, avec ces idées.

Posté par
Narhmre : intégrale impropre et équivalent 25-11-09 à 21:23

Bonjour à tous !

Une autre idée :

Déjà l'intégrale converge pour tout x>0.
on a pour 0<x<1 :

3$ f(x)=\Bigint_{x}^{+\infty} \ \fr{e^{-t}}{t}dt=\Bigint_{x}^1\fr{e^{-t}}{t}dt + \Bigint_1^{+\infty} \fr{e^{-t}}{t}dt=\Bigint_{x}^1\fr{e^{-t}}{t}dt \ + \ f(1)

or
3$ \fbox{1} \ : \ \Bigint_{x}^1\fr{e^{-t}}{t}dt \leq -\ln(x) \\ \fbox{2} \ : \ \Bigint_{x}^1\fr{e^{-t}}{t}dt \ \geq_{(IPP+\text{inegalite})} \ -\ln(x)e^{-x}+\Bigint_{0}^1 \ln(t)e^{-t}dt

Ce qui permet de conclure si j'ai pas fait d'erreurs

Posté par
comathsre : intégrale impropre et équivalent 26-11-09 à 07:11

Merci à tous et à bientôt


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