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intégrale indéfinie de fonction trigonométrique

Posté par
pppa 16-11-09 à 18:06

Bonsoir à tous


je dois calculer l'intégrale I = 5$\int\frac{dx}{sin^3 x}

J'ai 2 pistes mais j'aboutis pas ; qd je redérive je ne retrouve pas la fonction à intégrer.

Mes 2 pistes :
1/ chgt de variable pr aboutir à une expression permettant d'intégrer une dérivée du type de 1/x.
Je pose sin3 x  = u, puis je dérive u par rapport à x , ce qui me donne du = 3 cos x sin² x dx (sauf erreur), dc dx = du/(3 cos x sin² x), ce qui me mène à
I = du/(3u² cotan x)

2/ sin3x = sin² x sin x = sin x (1 - cos ² x), mais je ne retrouve pas de primitive "type connue"

Pouvez-vs m'aider svp

merci

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 18:20

Bonsoir.

3$\textrm\fra{1}{sin^3x} = \fra{sinx}{sin^4x} = \fra{sinx}{(1-cos^2x)^2}

En posant cosx = u, essaie pour voir.

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 18:44

Bonsoir Raymond

Merci du conseil

Déjà j'ai bien retrouvé (1-cos² x)² = sin4x. ( je te crois sur parole bine sûr  mais j'aime bien retrouver par moi-même)

Après en suivant ton conseil j'arrive à I = 5$\int\frac{-du}{(1-u^2)^2}

C'est bien ça ? Il me semblait avoir vu un cas similaire mais je ne le retrouve pas ds mes cours ni ds mes livres.

Est-ce qu'il faudrait faire un nouveau chgt de variable pour pouvoit intégrer avec la fonction ln ? pr l'instant j'en suis arrivé et bloqué là

Merci  de ton aide

Posté par
Hiphigeniere : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 19:10

Bonsoir,

Je proposerais \frac{1}{sin^2 x}.\frac{1}{sinx}dx par parties.

On est alors ramené à \frac{1}{sinx}dx qui peut se calculer par substitution en posant u = tan(\frac{x}{2})

Posté par
Hiphigeniere : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 19:41


\textrm \int \frac{1}{sin^3 x}dx = \int \frac{1}{sin^2 x}.\frac{1}{sinx}dx = \frac{-1}{sin x}.cotan x - \int \frac{cos^2 x}{sin^3 x}dx = \frac{-1}{sin x}.cotan x - \int \frac{1 - sin^2 x}{sin^3 x}dx = \frac{-1}{sin x}.cotan x - \int \frac{1}{sin^3 x} + \int \frac{1}{sinx}dx

\textrm 2.\int \frac{1}{sin^3 x}dx = \frac{-1}{sin x}.cotan x + \int \frac{1}{sinx}dx

Donc \textrm \int \frac{1}{sin^3 x}dx = \frac{1}{2}(\frac{-1}{sin x}.cotan x + \int \frac{1}{sinx}dx )


et  \textrm \int \frac{1}{sinx}dx = ln|tan(\frac{x}{2})| + C

Il reste à racommoder tout cela et le compte est bon...

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 20:55

Avec ma méthode, en décomposant en éléments simples et en intégrant, je trouve :

3$\textrm\fra{1}{2}ln(|tan(\fra{x}{2})|) - \fra{cos(x)}{2sin^2(x)} + C^t

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 22:35

Grand merci à ts les deux d'être intervenus.

Apparement vos résultats sont proches mais pas identiques. Je vais déjà essayer avec la méthode d'Hiphigénie qui donne bcp de détail.

>>Raymond : est-ce que ce que j'ai écrit ds mon message de 18 h 44 est un bon départ, ou déjà  faux, même si c'est pas bcp avancé ; merci de me dire

à ts les 2.

Posté par
raymond Correcteurre : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 23:01

Je n'ai pas véifié, mais la fraction rationnelle que tu obtiens se décompose facilement et s'intègre sans problème

Bonne soirée.

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 23:03

>>Hiphigénie

J'ai retrouvé 4$\int\frac{dx}{sin x} = ln(|tan\frac{x}{2}|)+C (on l'avait traité par ailleurs) mais je ne vois aps comment tu passes de4$\int\frac{1}{sin^2 x}\times\frac{1}{sin x}\times dx = \frac{-cotan x}{sin x}-\int\frac{cos^2 x}{sin^3 x}\times dx
Une IPP vraisemblablement mais je ne retrouve pas laquelle

peux-tu me dire stp

merci d'avance

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 16-11-09 à 23:31

Je reprendrai demain (mais je lâche pas l'affaire , de tte façon, obligé de le faire)

a demain ; buena notte !

Posté par
Hiphigeniere : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 17-11-09 à 07:14

Bonjour,

La nuit porte conseil puisque je te propose encore une méthode plus simple que celle de 19h41.

D'abord, la réponse à ta question bien qu'elle me paraîtra inutile quand je te montrerai la nouvelle méthode :
il s'agit bien d'une IPP en posant \textrm u'(x) = \frac{1}{sin^2 x} et v(x) = \frac{1}{sinx}.


Mais c'est en pensant à ce que j'avais proposé à 19h10  ("On est alors ramené à \frac{1}{sinx}dx qui peut se calculer par substitution
en posant u = tan(\frac{x}{2})" que je me suis dit : pourquoi ne pas le faire dès le début ?

On pose u = tan(\frac{x}{2}) et on sait que \textrm sin x = \frac{2tan\frac{x}{2}}{1 + tg^2 \frac{x}{2}} = \frac{2u}{1 + u^2}

\textrm du = \frac{1}{2}.(1 + tan^2 (\frac{x}{2})) dx = \frac{1 + t^2}{2} dx \Longrightarrow dx = \frac{2 du}{1 + u^2}.

En remplaçant dans l'énoncé :

\textrm \int \frac{1}{sin^3 x}dx = \int (\frac{1 + u^2}{2u})^3 . \frac{2}{1 + u^2}du = \int \frac{(1 + u^2)^2}{4u^3} dt = \frac{1}{4} \int \frac{1 + 2u^2 + u^4}{u^3} du
\textrm = \frac{1}{4} (\int \frac{1}{u^3} du + 2 \int \frac{1}{u} du + \int u du) = \frac{1}{4} (\frac{-1}{2u^2} + 2ln|u| + \frac{u^2}{2}) + C = \frac{1}{2}ln|tan(\frac{x}{2})| - \frac{1}{8tan^2 (\frac{x}{2})} + \frac{tan^2 (\frac{x}{2})}{8}

Un simple calcul montre que cette réponse correspond à celle de raymond que je salue !

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 17-11-09 à 13:24

Bonjour Hiphigénie, Bonjour Raymond

>>Hiphigénie :
d'abord grand merci à toi qui de bon matin a pris du temps pr me proposer une solution détaillée (en  + de ce que tu as fait hier)

Après je crois que ns sommes ts d'accord pr dire que la solution de Raymond donnée hier soir à 20 h 55 est la bonne : toi, par tes calculs, moi en redérivant sa formule, je retrouve bien la fonction à intégrer.

Maintenant les choses secompliquent pr moi parce que :
1/ je ne suis pas Raymond (loin de là), dc je ne sais pas retrouver sa formule tt seul, et mon exo, c'est pas une dérivation mais une intégration

2/ malgré tes explications détaillées, j'ai qqs questions stp.

a/pr calculer du, on dérive par rapport à x pr avoir dx, mais
  u=tan(\frac{x}{2})=tan(\frac{1}{2}\times x) Ca OK
  comme ça on peut dériver par rapport à x, et là je trouve
4$ dx=\frac{2 du}{1+tan^2 x}, dc il me semble - pardon si je me trompe et si c'est le cas dis-le moi sans hésiter- qu'on ne peut pas écrire direct
4$ dx=\frac{2 du}{1+u^2 x}, si??

b/ j'ai du mal avec 4$ -\frac{1}{8tan^2(\frac{x}{2})}+\frac{tan^2(\frac{x}{2})}{8}, peux tu me donner une piste pr développer et simplifier stp.

Bon je repars, je reverrai tt ça en détail ce soir, merci encore pr le tps que tu prends pr moi

>>Raymond :

Posté par
Hiphigeniere : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 17-11-09 à 21:12

Bonsoir,

Je vais essayer de bien cerner ton problème.

D'abord, en relisant mon texte, j'ai vu qu'il y avait un petit "t" qui se baladait alors qu'il s'agit d'un "u" (dans la ligne "du = ..."  c'est la ligne -5).

Je reprends cette partie.
Partons de la formule : (tanx)' = 1 + tg²x.
Dans ce cas, \textrm (tan(\frac{x}{2}))' = (tan (\frac{1}{2}.x))' = \frac{1}{2}.(1 + tan^2 \frac{x}{2})

Si u = tan(\frac{x}{2}), alors la différentielle de u est \textrm du = \frac{1}{2}.(1 + tan^2 \frac{x}{2}) dx

En remplaçant tan\frac{x}{2} par u dans cette dernière égalité, on a bien : \textrm du = \frac{1}{2}.(1 + u^2) dx = \frac{1 + u^2}{2} dx

On réécrit cela : \textrm du = \frac{1 + u^2}{2} dx

Par conséquent, \textrm dx = \frac{2}{1 + u^2}.du et c'est ce que j'avais écrit.

Si tu veux écrire cette dernière égalité directement comme tu le disais, tu devrais passer par l'arctangente.

Ainsi ,
u = tan\frac{x}{2} signifie que \textrm \frac{x}{2} = Arctan(u), c'est-à-dire : x = 2.Arctan(u) et tu aurais directement \textrm dx = \frac{2}{1 + u^2}.du.

Mais, après ces explications, je ne sais toujours pas si j'ai répondu à ta question...

Pour la simplification de la réponse : \textrm - \frac{1}{8tan^2 \frac{x}{2}} + \frac{tan^2 \frac{x}{2}}{8}.

Pour simplifier l'écriture, nous écrirons t = tan\frac{x}{2} et on sait que \textrm sin x = \frac{2tan\frac{x}{2}}{1 + tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2} et que tanx = \frac{2tan\frac{x}{2}}{1 - tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2t}{1 - t^2}

Donc \textrm \frac{-1}{8t^2} + \frac{t^2}{8} = \frac{-1 + t^4}{8t^2} = \frac{t^4 - 1}{8t^2} = \frac{(t^2 - 1)(t^2 + 1)}{8t^2}
\textrm = \frac{-1}{2}. \frac{1 - t^2}{2t} . \frac{1 + t^2}{2t} = \frac{-1}{2} . \frac{1}{tan x} . \frac{1}{sin x} = \frac{-1}{2} . \frac{cos x}{sin x} . \frac{1}{sin x} = \frac{-cos x}{sin^2 x}

Voilà... As-tu encore des nuages brumeux dans ces explications ?  

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 17-11-09 à 23:43

>>Hiphigénie
les mots me manquent pr te remercier, c'est rare qu'on me donne autant de détails avec tant de patience (à part Cailloux pr la géométrie...)

D'abord bonne nouvelle , je l'ai refait tt seul et j'ai enfin tt compris grâce à toi
Mon incomprehension de ce midi venait de ce que dérivais mal tan\frac{x}{2}
(que je calculais mal la différentielle de u) ; dès fois il vaut mieux ne pas savoir que mal savoir, parce que j'étais persuadé que ce que j'écrivais ce midi était juste ; là, correction importante grâce  à toi  


Pr les calculs de fin, j'ai repris mon formulaire de trigo et j'ai alors très vite compris ; c'est vrai qu'on pense pas (que je pense pas) assez souvent aux expressions des fonctions trigo de base en fonction de tan\frac{x}{2}

En fait on aurait pu écrire aussi que la réponse est

3$ \frac{1}{2}(ln|tan\frac{x}{2}|-cotan x\times cosecx)+C, mais bon restons avec les 3 fonctions usuelles

Encore avec mes remerciements les + vifs

Au plaisir

Posté par
Hiphigeniere : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 18-11-09 à 06:42

Bonjour,

De nouveau, assez matina

Posté par
Hiphigeniere : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 18-11-09 à 06:46

Bonjour,

De nouveau assez matinal...

Ce fut avec plaisir..., mais si j'avais su que je pouvais parler de cosecx, cela m'aurait vachement simplifié les écritures. J'entends souvent que sec x  et cosec x ne sont plus étudiés.

Bon vent à toi  

Posté par
pppare : intégrale indéfinie de fonction trigonométrique 18-11-09 à 07:34


Bonjour
Hiphigénie

Oui c'est vrai on les étudie plus, on mentionne leur existence c'est tt, et encore pas ts les profs... Je crois que les étudiants en architecture les étudient de + près..il me semble

Citation :
mais si j'avais su que je pouvais parler de cosecx, cela m'aurait vachement simplifié les écritures


Comme quoi elles peuvent encore avoir une utilité

Buona giornata ; arrivederci con piacere


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