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Intégrale par fraction partielle
Bonjour,
j'ai un numéro d'intégration par fraction partielle qui ne semble pas si compliqué mais je n'y arrive pas.
La réponse au numéro est:
(1/4) ln (5/9) - (23/44) ln 45
L'intégrale de -2 à 2 est : (6-x) / [ (x-3)(2x+5)] dx
voici ma démarche:
(6-x) / [ (x-3)(2x+5)] = a/(x-3) + b/(2x+5)
= [a(2x+5) + b(x-3)] / [ (x-3)(2x+5) ]
= [(2a+b)x + (5a-3b)] / [(x-3)(2x+5)]
donc:
2a+b = -1 et
5a - 3b = 6
donc a = 3/11 et b = -17/11
Par conséquent,
L'intégrale de -2 à 2 est : (6-x) / [ (x-3)(2x+5)] dx
=
L'intégrale de -2 à 2 de (3/11)(1/(x-3)) - (17/11)(1/(2x+5)) dx
= (-3/11)intgr( -2 à 2) (1/ (3-x)) dx + (-17/11)intgr (-2 à 2)(1/(2x+5)) dx
= (-3/11) ln (3-x) (entre -2 et 2) + (-17/11) ln (2x+5)(entre -2 et 2)
= (-3/11) [ ln(3-2) - ln(3+2) ] + (-17/11)[ln (4+5) - ln(-4+5)]
= (-3/11) [ln 1 - ln 5] + (-17/11)(ln 9 - ln 1)
= (3/11) ln 5 - (17/11)ln 9
qui donne environ -2,95677
tandis que le corrigé donne environ -2,1362
merci,
Fractalus
Bonjour,
Tout d'abord il y a une erreur sur tes coefficients.
Le b que tu trouves n'est pas le bon, mais c'est le double de celui que tu devrais avoir :
la théorie te dit qu'il existe a et b tels que et non pas ce que tu écris en tout premier lieu.
Ensuite tu fais une erreur de primitivation quand tu intègres entre -2 et 2, 1/2x+5. Une primitive est (1/2)*ln(2x+5) car 2x+5 est positif sur [-2,2]. De plus, les primitives des fonctions u'/u sont de la forme ln|u|+C.
Donc pas mal d'erreur bete.
Je te propose une solution :
Ce grace aux propriétés du logarithme : ln(ab)=ln(a)+ln(b) et ln(ab)=bln(a).
Qu'est-ce que ça change de mettre le 1/2 en évidence où non dans
1/(2x+5) pour avoir 1/ (2(x+5/2))??
Fractalus
P.S. : Merci pour ton aide!
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