Bonjour,

Il faut raisonner en 3 dimensions : un point est alors donné par ses coordonnées (x, y, z).
f étant donnée, on considère les points (x, y, z = f(x,y)).
Les lignes de niveau de f sont précisément les points de ce type tels que
z = f(x,y) = k (k est une constante).
Dit autrement, z = f(x, y) est l'équation d'une surface, et ses lignes de niveau sont ses sections par les plans horizontaux z = k.
Plus précisément, ce sont les projections verticales de ces sections sur le plan z = 0 (on "oublie" la composante z).
Toute solution de S, de la forme (x(t), y(t)) telle que f(x(t), y(t)) = k, est donc par définition comprise dans l'ensemble des points (x,y) tels que f(x, y) = k, donc dans la ligne de niveau correspondant à l'altitude k.  

ce qui me gene en fait c'est la constante k. comment relier cette constante à toutes les variations de x et y (je ne sais pas si c'est trés bien dit mais l'idée est là j'espere)

Prenons un exemple : la demi-sphère x^2 + y^2 + z^2 =1, et z 0
Les lignes de niveau sur la sphère correspondent aux intersections de la sphère avec le plan horizontal z = k, ce qui conduit à :
x^2 + y^2 = 1-k^2
Ce sont donc des cercles :
- dans le plan horizontal z = k
- de centre (0, 0, k)
- de rayon racine(1-k^2)

Leur projection verticale sur le plan horizontal z = 0 sont des cercles :
- de centre (0,0)
- de rayon racine(1-k^2)
C'est la représentation cartographique des lignes "d'altitude constante" de la sphère, l'altitude étant ici z = k.

Et les trajectoires des intégrales premières se meuvent sur ces cercles.