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intégrale sur un compact

Posté par
alain83 18-05-09 à 00:29

Bonjour, je dois :

1 Calculer $J \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{2}}t^3 cost \ dt$

Je trouve $- \pi^2$

2 Je dois déduire
$I \ = \ \int \int_D cos[(x^2 \ + \ y^2)^{\frac{1}{4}}]dx \ dy$

avec $D \ = \ \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\ ; \ x^2 \ + \ y^2 \ \leq \ \pi^4 \ ; \ 0 \ \leq \ y \ \leq \ x \ \}$

Je n'y arrive pas, j'ai essayé de trouver les bornes :

$0 \ \leq \ y^2 \ \leq \ \frac{\pi^4^}{2} \ \leq \ x^2 \ \leq \ \pi^4$

Mais je n'arrive à rien, merci de votre aide.

Posté par re : intégrale sur un compact 18-05-09 à 06:17

il faut commencer par dessiner le domaine d'intégration
c'est un quart de cercle
on peut donc le paramétrer facilement en posant
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$

Posté par intégrale sur un compact 18-05-09 à 08:31

Bonjour, c'est un quart de cercle de rayon $\pi^2$

qui passe par l'origine et le point de coordonnées $(\pi^2,\pi^2)$ et de centre $(0, \pi^2)$ ?

Merci, Alain.

Posté par re : intégrale sur un compact 18-05-09 à 08:44

Non, de centre (0,0) puisque $||(x,y)||^2<\pi^4$
partie en dessous de la droite y=x
et
au dessus de y=0

Posté par intégrale sur un compact 18-05-09 à 09:12

C'est un huitième de cercle alors ?

Posté par intégrale sur un compact 18-05-09 à 09:49

Je trouve ça mais je ne me sers pas du résultat précédent.

$I \ = \ \int \int_D cos[(x^2 \ + \ y^2)^{\frac{1}{4}}]dx \ dy$

On prend : $x=\pi^2 \ ; \ pour \ y \ de \ 0 \ a \ \sqrt{\pi^4 - x^2}$

On pose : $x \ = \ \pi^2 cos\theta \ ; \ dx \ = \ - \pi sin \theta$

et : $y \ = \ \pi^2 sin \theta \ ; \ dy \ = \ \pi cos \theta$

On obtient : $I \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{4}} cos(\pi^4 cos^2 \theta \ + \ \pi^4 sin^2 \theta)^{{1}{4}} d \theta$

$I \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{4}}cos \pi \ d \theta$

$I \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{4}}(-1) \ d \theta$

$I \ = \ [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}}$

$I \ = \ \frac{\pi}{4}$

Posté par re : intégrale sur un compact 18-05-09 à 10:36

effectivement c'est un huitième je ne sais plus découper les gateaux !

mais pour le paramétrage du domaine tu melanges tout
ce n'est pas un segment comme donnerait ton premier paramétrage puisque tu fixes x

il faut faire un chgt de variables ds l'integrale double
regardes ton cours
et le domaine correspond à r entre 0 et R rayon du cercle et $\theta\in [0,\pi/4]$

Posté par intégrale sur un compact 18-05-09 à 18:36

Merci de ton aide, je n'y suis pas arriver, j'y retournerai plus tard parceque j'ai la ferme intention de comprendre.

Bonne soirée.

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