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Intégrale (triviale?) - Changement de variable

Posté par
Epicurien 24-03-09 à 23:28

Bonjour,

J'voudrais calculer I=\Bigint_{0}^{2\pi}\fr{1}{1+2sin^2(x)}dx

Merci de me dire si j'ai juste:

On a I=\Bigint_{0}^{\pi}\fr{1}{1+2sin^2(x)}dx+\Bigint_{\pi}^{2\pi}\fr{1}{1+2sin^2(x)}dx

Or f(x)=\fr{1}{1+2sin^2(x)} est 2\pi périodique donc on a: \Bigint_{\pi}^{2\pi}\fr{1}{1+2sin^2(x)}dx=\Bigint_{-\pi}^{0}\fr{1}{1+2sin^2(x)}dx

De plus f étant paire, I=2\Bigint_{0}^{\pi}\fr{1}{1+2sin^2(x)}dx

On pose alors t=tan(x) ce qui m'arrangerais pour le calcul de l'intégrale mais après je bloque sur les bornes car tan(\pi)=tan(0)=0...

Merci de me dire où est la boulette

Posté par
Quent225re : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:39

Bonsoir,
Il me semble que le changement n'est pas valable puisque tan(pi/2) n'existe pas...

Posté par
Epicurienre : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:40

Oui pas faux lol ^^ on peut pas recouper en pi/2 dans ce cas?

Posté par
Quent225re : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:42

ça restera néanmoins difficile pour le changement de borne il me semble...:|

Posté par
Epicurienre : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:43

Règles de Bioche dans ce cas?

Posté par
Epicurienre : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:47

J'vais poser t=cos(x)

Posté par
Epicurienre : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:50

... ou plutôt écouter Ayoub et pose t=tan(x/2)

Posté par
Quent225re : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:52

t= tan(pi/4) plutôt... Comme ça on a pas de pb a priori avec la borne supérieure.

Posté par
Quent225re : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 24-03-09 à 23:52

tan(x/4)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 25-03-09 à 00:13

La fonction 3$\fbox{f : x\to\frac{1}{1+2sin^2x}} est \pi-périodique et vérifie 3$\fbox{f(\pi-x)=f(x)} pour tout réel x

donc 5$\blue\fbox{\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+2sin^2x}=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+2sin^2x}} sauf erreur bien entendu

Posté par
Epicurienre : Intégrale (triviale?) - Changement de variable 25-03-09 à 00:24

Aaaaaaaaaaah voilà la boulette donc pi périodique pas deux pi!

Merci Elhor et salut au passage.


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