Niveau maths spé

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Posté par
jerome20048 01-11-09 à 23:26

Bonjour,

un petit exercice sur les intégrales qui me pose bien des soucis.
Pour la deuxième question j'ai fait une intégration par partie mais j'ai un cos(t)/t qui m'embete

merci de votre aide

$\\ Soit f une fonction continue sur [a~;+8] , $f\left(x\right)=\int^{\infty }_0{{\exp (-xt)\ }\frac{{\sin t}}{t}}\ dt \\ \\ \\ 1. Montrer que f est bien definie sur ]0~;+8[ \\ \\ 2. Prouver l'existence de f(0) \\ \\ 3. Montrer que {{\lim }_{\infty } f(x)\ }=0 \\ \\$

Posté par re : Intégrales 01-11-09 à 23:35

Bonsoir,
avec $a>0$ $3$\int_0^a\frac{\sin t}{t}\text{ d}t$ ne pose pas de problème.
Et avec une intégration par parties $3$\int_a^\infty\frac{\sin t}{t}\text{ d}t$ non plus.

Posté par re : Intégrales 02-11-09 à 00:05

Pourquoi ça ne pose pas de problème? c'est ça mon problème...

Posté par re : Intégrales 02-11-09 à 03:06

$3$\frac{\sin t}{t}$ tend vers 1 quand $t$ tend vers zéro.
L'intégrale $3$\int_0^a\frac{\sin t}{t}\text{ d}t$ est donc convergente.
Et comme $a\neq 0$ alors l'intégration par parties donne
$3$\int_a^\infty\frac{\sin t}{t}\text{ d}t=\left[\frac{-\cos t}{t}\right]_a^{\infty}-\int_a^\infty\frac{\cos t}{t^2}\text{ d}t$
or $3$\left|\frac{\cos t}{t^2}\right|\leq \frac1{t^2^}$

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