Bonsoir,

est la distance entre le point considéré et l'origine, donc toujours 0; pour ton domaine D tu as 0<1 ; des parenthèses autour de ²+1 seraient du meilleur effet ...

Oui, bien sûr que est positif ... étourderie.
Sans cela, le calcul donne maintenant :

Je ne trouve pas comme toi :  en tu dois intégrer ³ + entre 0 et 1 ce qui donne 3/4 non ?

Pfiou, oui sans commentaire ...
C'est bien ça PIL. Merci.


Viennent alors les deux question suivantes :
Comment représenter dans un plan les réels concernés par l'intégration (avant et même après le changement de variables) et pour le second calcul, je n'envisage pas de changement de variables, simplement je n'arrive toujours pas à représenter dans le plan les x et y qui "vont bien".

Comment m'y prendre ?

Ton domaine D est l'ensemble des points P=(x,y) tels que  x² + y² < 1 : tu sais bien que c'est le disque (ouvert, mais ça ne change rien pour l'intégrale) de centre O et de rayon 1, décrit en coordonnées polaires par  0<1 et 0<2.
Pour la deuxième intégrale: x>0 et y>0 c'est clair; x+y-1<0, c'est y+x<1 : turegardes l'égalité y+x=1 et tu choisis le "bon côté" ...

C'est très clair. Merci.

En revanche, la fonction sous l'intégrale n'est pas à variables séparées, ni le domaine pavé, donc je ne peux pas effecteur un produit d'intégrales.

Est-ce qu'il faut aussi tenter d'appliquer Green-Riemann et paramétrer les trois morceaux ou quelque chose de plus simple peut s'envisager ?

Pendant ce temps, je tente cette solution et je vous tiens au courant de mon avancement.

Tu as vu que ton domaine D est le triangle de sommets (0,0),(1,0) et (0,1). Tu choisis d'intégrer dans un certain ordre, par exemple d'abord en x, ensuite en y. Alors tu fixes une valeur de y (entre 0 et 1 bien sûr) et tu cherches les valeurs de x telles que (x,y) soit dans D : tu trouves 0 < x < 1-y , c'est l'intervalle d'intégration en x pour cette valeur de y. Ensuite tu intègres en y entre 0 et 1 . Donc



Tu vérifies que tu as bien compris en intégrant une nouvelle fois : d'abord en y et ensuite en x ...

Ok, j'me lance :


Alors on a (xy+1)dxdy  =  (Q / x  -  P / y))dxdy =     =  ₁   +  ₂   +  ₃

Où (xy) = P(x,y)dx  +  Q(x,y)dy.

J'ai choisi P(x,y) = 0 ainsi que Q(x,y) = y  +  x
Ensuite je paramètre ₁ de la manière suivante :


                                  [0,1]    
₁  :  
                                  t       (t,0)

D'où '₁  =  (1,0)

Et donc 1  =    =  1/2

Je suis sur la voie ?

Ok.

Bon, alors avec ce que tu me proposes je trouve 13/24 et c'est aussi ce que je trouvais pour le calcul de ce que j'aurais appelé ₂ dans mon calcul précédent.
On doit trouver le même résultat quelle que soit la méthode employée de toute manière.
Mais, avec ce que je propose je trouve 13/24  +  1/2 donc, il a bug quelque part. Je sais pas si je suis très clair ?


Je comprends le calcul de l'intégrale, je le vois comme un balayage respectif des x et des y ensuite.
Il y a de l'idée ?

Salut Tim-X,

C'est bien un balayage : si tu intègres d'abord en x (y fixé)  tu décomposes ton domaine en "couches  horizontales ultrafines "; si tu intègres d'abord en y (x fixé) c'est des "tranches verticales" ...
Green-Riemann : ton calcul de l'intégrale sur ₁ n'est pas correct : sur ₁  tu as x=t et y=0 , donc dy = 0 et l'intégrale est nulle; sur ₂  on est d'accord et sur ₃  on a x=0 donc l'intégrale est nulle aussi. Donc, même résultat que pour le calcul direct !  Sur le fond, le calcul direct est quand même plus adéquat ...

Ok, merci pour cette "confirmation".
Oui j'ai vu mon erreur sur ₁ et donc on retrouve le même résultat, tout est bien !
Et ça entraîne aux deux méthodes donc c'est encore mieux.

Dernière question : Puisque l'intégrale double mesure une aire, ne peut-on pas dire à l'avance quelle est l'aire d'un disque dont on connaît le rayon ?
Pourtant dans ce cas-là on ne retrouve pas le même résultat. Donc, où est-ce que le raisonnement cloche ?

Salut,

Attention, c'est    qui mesure l'aire de D, par exemple si D est le disque de rayon R (de centre O) tu as
.

Mais    a une autre interprétation : on suppose pour simplifier que  f(x,y) est 0. Le graphe de f est une surface S au-dessus de D. Alors    mesure le volume du corps compris entre D et S.  Par exemple si D est toujours le disque de centre O et de rayon R, et si f(x,y) = (R² - x² -y²) tu peux calculer l'intégrale ( en utilisant les coordonnées polaires) et tu trouveras (2/3)R³, le volume de la demi-boule de rayon R.

Ok, mais une intégrale mesure aussi une aire mais au sens de l'interprétation que vous avez donné au calcul de _Df(x,y)dxdy.
Mais qu'en est-il du sens de l'intégrale vu comme dx ? Cela mesure une distance ?

Salut,

Pourrais-tu préciser le contenu de ta première phrase ?
Pour la deuxième : si I est l'intervalle [a,b],  ; alors que , si f est une fonction sur I telle que f(x)0,    mesure l'aire de la surface entre I et le graphe de f. C'est comme dans mon post précédent, avec une dimension de moins ...