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intégrales et séries

Posté par
leslie40 10-10-08 à 15:47

Bonjour,

Voilà j'ai un problème...
Pour x]0;1[
f(x) = \int_0^{x} ln(1-t)/t dt

il s'agit de montrer que f(1/2) = - 1/(2^n*n²)   pour n>=1

Et là je ne sais pas du tout comment m'y prendre... La seule indication que j'ai c'est qu'il faut exploiter les devellopements en séries entières au voisinage de 0.

Il faut ensuite montrer que f(1/2)= (ln 2)²/2 - ²/12.
Et là je ne sais pas comment faire non plus, j'ai une indication qui me dit que j'ai besoin d'une intégration par parties... Mais je n'arrive pas à integrer cette intégrale par partie car je retombe toujours au point de départ.

Pouriez vous m'aider ?
merci d'avance

Posté par
Roulianere : intégrales et séries 10-10-08 à 15:53

Bonjour,

Utilise le DSE de ln(1-t) t'auras alors le DSE de ln(-t)/t.
Puis il faut intervertir symboles somme et intégrale.

Posté par
leslie40re : intégrales et séries 10-10-08 à 15:59

ok, j'ai le DSE de ln(1-t) mais comment trouver alors celui de ln(1-t)/t ?

Voilà ma situation : je prépare le CAPES de maths mais les cours sur les séries sont loins... et en vérité ce n'est pas grâce à eux que j'ai eu ma licence... L'analyse n'est pas mon fort.
Pourrais-tu m'expliquer un peu plus ce qu'il faut faire ?

Merci

Posté par
Roulianere : intégrales et séries 10-10-08 à 16:17

Le DSE de ln(1-t) est :  3$ -\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n} donc celui de ln(1-t)/t est 3$ -\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{n-1}}{n}

Donc 3$ f(x) = \Bigint_0^x -\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{n-1}}{n} dt.

Maintenant il faut savoir si on peut intervertir symbole somme/intégrale

Posté par
leslie40re : intégrales et séries 11-10-08 à 13:19

le problème c'est que n'arrive pas à retrouver les critères qui permettent de dire que l'on peut inverser somme et intégrale... Pourrais-tu me dire quels sont-ils ?

Posté par
leslie40re : intégrales et séries 11-10-08 à 14:02

ça y est j'ai trouvé! Merci de ton aide.

Par contre je ne vois toujours pas comment résoudre la deuxième question...

Posté par
leslie40re : intégrales et séries 11-10-08 à 14:39

je n'arrive vraiment pas à montrer que f(1/2)= (ln 2)²/2 - ²/12.

j'ai essayé avec les ommations pas parties mais ça ne donne rien. Je ne vois pas du tout comment faire.
Merci de votre aide

Posté par
leslie40re : intégrales et séries 13-10-08 à 17:30

quelqu'un peut-il m'aider pour montrer ce dernier résultat ?


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