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Intégrales impropres
Bonsoir,
Je suis sensée établir la convergence de l'intégrale Jn = 
tne-t^2 (intégrale qui va de -
à +)
J'ai tout d'abord pensé à étudier de manière séparée les deux impropretés (équivalent, IPP...) sans grand résultat, idem pour le changement de variable et je n'arrive pas à me ramener à une intégrale de référence.
Si vous pouviez me donner quelques pistes ou une idée de la méthode, cela me serait d'une grande aide. Je vous en remercie d'avance.
Bonjour,
Commence par l'intégrale de 0 à +oo :
Tu as du voir en Terminale que, quand t tend vers +oo, pour tout n > 0, tu as tne-t tend vers 0.
Comme c'est vrai pour tout n > 0, c'est aussi vrai pour n+2, n > 0.
Donc, pour tout 
> O, il existe A > 0 tel que x > A implique tn+2e-t < , soit encore :
tne-t < /t2
Maintenant, tu sais aussi que e-t² tend plus vite vers 0 aux infinis que e-t
Donc
tne-t² < tne-t < /t2
Ca te suffit pour assurer la convergence en +oo
Maintenant, pour la branche de -oo à 0, fais un changement de variable t = -u, et tu retombes, à un signe près selon que n est pair ou impair, sur la même étude que de 0 à +oo
Bonsoir !
1) est une intégrale bien connue :
.
2) Quand n est impair, l'intégrand est une fonction impaire ; d'où, J_n=0.
3) Quand n est pair, on peut établir une formule de récurrence (par une intégration par parties) : .
Cordialement,
r2.
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