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Intégrales pas très facile....
Bonjour à tous et merci d'avance pour votre aide.\\
J'ai cet exercice à faire pour réviser le chapitre mais... il est pas très facile...
Pour n un Naturel on a :
In = INTEGRALE (0 à PI/2) sin((2n+1)t) / sin(t) dt
1) Justifier l'existence de In\\
(Il faut dire que f est continue sur 0 et PI/2 non?)
2) Calculer Io et In - I(n-1)\\
(j'ai PI/2 pour Io non ? par contre In - I(n-1) heu...)
Alors après...
3) En déduire In
4) Soit f la fonction définie sur ]0;PI/2] par f(t) = (1 / sin t) - (1 / t)
Montrez que f peut être prolongée en une fonction de classe C1 sur [0,PI/2].
et enfin ....
5) En déduire la valeur de lim (n--> +oo) INTEGRALE (0 à PI/2) (sin(2n+1)t)/t dt puis celle de lim (n ---> +oo) INTEGRALE (de 0 à (2n+1)PI/2 ) sinx / x dx\\
Merci d'avance pour votre aide précieuse.
bonjour
1) sur ]0 ; 
/2 ] : pas de problème ta fonction est définie continue
prouve qu'elle est prolongeable par continuité en 0, et donc que l'intégrale converge
2)
Pour I0 : ok
pour I(n)-I(n-1) : pense à utiliser une formule du genre sin(p)-sin(q) = ...
3) écris les relation de récurrence trouvées dans le 2 avec k variant de 1 à n et ajoute tout... c'est une somme télescopique et ne reste que I(n) et I(0)... d'où I(n)
4) une réduction au même dénominateur et un DL te donnera la limite en 0 et donc la valeur b du prolongement. Pour la dérivabilité on revient au classique (f(t)-b)/(t-0) quand t tend vers 0... cela te prouvera que le prolongement est dérivable en 0 de dérivée "c". Restera à prouver que f'(t) tend vers c quand t tend vers 0 pour que ce soit de classe C1.
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