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Intégration...

Posté par
alpha 3578 24-03-09 à 21:14

Bonsoir à tous,

Voici un exercice qui me pose problème.
Pour la première question, il suffit de montrer que u_{n+1}-u_{n}<0 grâce à une IPP, mais je n'arrive pas à conclure.


On considère les suites numériques (u_{n}) et (v_{n}) définies par :
4$u_{n}=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}dx et
4$v_{n}=\int_0^1\frac{x^n+2}{(1+x^2)(\sqrt{1+x^2})}dx

(1) Démontrer que (u_n) est une suite décroissante. En déduire que (u_n) est convergente.

On fait donc une IPP et on dit que la suite u est décroissante et minorée par 0 ?

(2) Démontrer que pour tout n,0<u_n<\frac{1}{n+1}(Par récurrence).En déduire la limite de (u_n).(Pas de soucis, on applique le théorème d'existence d'une limite par encadrement.

(3)Démontrer que  \lim_{n\to +\infty}v_n
Aucune idée.

(4)Démontrer que pour tout nu_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{2}}+\frac{1}{n+1}v_n

Merci de me donner quelques indications afin que je puisse traiter la totalité de l'exercice.

Bien cordialement.

Posté par
raymond Correcteurre : Intégration... 24-03-09 à 21:17

Bonsoir.

1°) Calcule u_{n+1} \ - \ u_n

Posté par
gui_toure : Intégration... 24-03-09 à 21:18

Salut !

1) dans l'espression u(n+1)-u(n), mets le x^n en facteur : on aura au numérateur x^n(x-1) qui est .. négatif sur le segment [0,1] !

2) mouais bof pour la récurrence. J'aurais plutôt dit 3$\forall x\ge0\ 0\le\fr{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\le x^n et on intègre !

3) découpe l'intégrale en deux morceaux ; pour celui qui contient le x^n même astuce que 2). Que vaut la limite ?

4) IPP

Posté par
olive_68re : Intégration... 24-03-09 à 21:19

Salut,

Pour montrer la décroissance de 4$(U_n) ne te casse pas la tête..


4$U_{n+1}-U_n=\Bigint_0^1\fr{x^{n}(x-1)}{\sqrt{x^2+1}

Or 4$x\in[0;1] \ \to U_{n+1}-U_n<0

Donc 4$(U_n) est décroissante ..

Pour montrer la minoration par 0 c'est pas bien dure ^^


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