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Intégration : application de Jensen

Posté par
H_aldnoer 06-10-08 à 21:51

Bonsoir,


voici le nouveau problème d'intégration sur lequel je planche.

i) Montrez que l'on définit une mesure positive \Large\mu sur \Large ]0,1[ équipé de sa tribu borélienne en posant, pour tout borélien \Large A de \Large ]0,1[, \Large\mu(A):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_Af(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt.

ii) Calculez \Large{\mu(]0,+\infty[)

iii) Vérifiez que, \Large{\forall a>0}, \Large{\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt <+\infty puis, en utilisant l'inégalité de Jensen, montrez que \Large{\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \le (\frac{2}{\pi})^{\frac{1-b}{2b}}(\Bigint_0^{+\infty}t^{(a-1)b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^{\frac{1}{b}}, \Large{\forall b\ge 1}.



Bon alors, je bug sur la première question :
\Large\mu(\empty):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\empty}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt=0 car on intègre sur un ensemble de mesure nulle ? Je sais pas comment le justifier, on intègre pour les \Large {t\in \empty}, cad on fait rien du tout!

Alors après, je ne vois pas comment m'en sortir :
\Large\mu(\Bigcup_{k\ge 1}A_k):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\Bigcup_{k\ge 1}A_k}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\mathbb{R}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{\Bigcup_{k\ge 1}A_k}(t)dt

Dans cette dernière, je ne suis pas sur que l'on intègre sur \Large\mathbb{R} tout entier, si ?


Bref, après, je vois pas comment m'en dépatouiller!

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 06-10-08 à 22:23

Ah mais c'est bien sur!


On prend une suite \Large (A_k)_k d'ensemble 2 à 2 disjoints. On a donc \Large \mathbb{1}_{\Bigcup_{k\ge 1}A_k}=\Bigsum_{k\ge 1}\mathbb{1}_{A_k}.


Et donc, en utilisant la linéarité de l'intégrale, \Large\mu(\Bigcup_{k\ge 1}A_k)=\Bigsum_{k\ge 1}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\mathbb{R}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t)dt=\Bigsum_{k\ge 1}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{A_k}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Bigsum_{k\ge 1}\mu(A_k).



Par contre, j'ai toujours ce petit doute : est bien \Large\mathbb{R} tout entier qu'il faut prendre ?

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 07-10-08 à 13:41

salut

j'ai commencé à réviser ton cours (merci)et j'aime bien voir ce que tu fais czr ça me fait travailler

mais là j'ai 2 questions:
qu'est-ce que f?
est-elle définie sur ]0,1[ ou plus grand?

sinon comme 0*=0 dans la théorie de la mesure on a:
()=<sup|f(t)e-t²/2|dt()=0 (sinon la fonction indicatrice de l'ensemble vide est 0 ,non?
ce me semble-t-il
pour ii) tu as une intégrale de Riemann qui depend de l'intégrabilité de f, non?

vola je ne sais pas si ces questions !! peuvent t'aider mais bon... courage...

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 07-10-08 à 16:15

Bonsoir

Je pense que dans le sujet, la fonction f est mesurable et positive ; je ne comprend pas bien la seconde question : est définie sur ]0,1[ pas sur ]0, +[

Pour la troisième question, es-tu bien sûr qu'on doive utiliser l'inégalité de Jensen ? Moi, je l'ai montré aisaiment en utilisant l'inégalité de Hölder, mais je ne vois pas comment utiliser l'inégalité de Jensen.

Excuse-moi carpediem, je n'avais pas fait attention à ton message   , mais je vois que tu as aussi les mêmes interrogations concernant les deux premières questions.

A+

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 07-10-08 à 16:37

A dire vrai, rien n'est préciser sur \Large f, donc je ne sais pas quoi te répondre!


Sinon, je pense que \Large \mu est une mesure défini sur \Large ]0,+\infty[ (sinon la question ii) n'a pas de sens) et si l'on restreint l'intervalle de définition à \Large ]0,1[, on a une définition plus précise.


Pour la iii), c'est une application de Jensen. On ne me demande pas de prouver cette inégalité! On me demande d'appliquer Jensen et je crois qu'avec \Large f(t}=t^{a-1} ça marche plutôt bien ...

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 07-10-08 à 18:12

on peut remarquer en posant [textrm]d\nu(t)=f(t)e^{\frac{-t^2}{2}}dt  et  \Oméga=]0,+\infty[[/tex] que (A)=\int_Ad\nu(t)=

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 07-10-08 à 18:24

i)  Pour justifier que () = 0, j'écrirai :

\Large\mu(\empty):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\mathbb{R}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}} \Large \mathbb{1}_{\empty}(t)dt=0

Je pense que ton égalité :
     \Large\mu(\Bigcup_{k\ge 1}A_k)=\Bigsum_{k\ge1}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\mathbb{R}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t)dt=\Bigsum_{k\ge 1}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{A_k}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Bigsum_{k\ge 1}\mu(A_k)
est toute à fait correcte, mais je me demande si la justification est : "en utilisant la linéarité de l'intégrale" ;en effet, la linéarité, me semble-t-il, ne concerne que des sommes finies et non des sommes infines qui sont en fait des limites.
Là, il faut peut-être sortir l'artillerie lourde : les théorèmes de convergence.

ii)  Compte tenu des renseignements qu'on a sur f, je ne vois pas comment calculer \Large{\mu(]0,+\infty[)

iii) La convergence de l'intégrale est évidente mais j'avoue ne pas avoir chercher à appliquer Jensen pour l'inégalité demandée

Bon courage

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 07-10-08 à 18:30

on peut remarquer en posant \textrm d\nu(t)=f(t)e^{\frac{-t^2}{2}}dt et \Omega =]0,+\infty[ que \mu(A)=\int_A d\nu(t)=\int_\Omega 1_Ad\nu(t)

et que si f=1 on a la densité de la loi normale

PS: j'ai oublié le coef \

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 07-10-08 à 18:55

Ah oui, je pense que tu as raison :


Pour détailler,
\Large \mu( \Bigcup_{k\ge 1}A_k ) = \Bigint_{\Bigcup_{k\ge 1}A_k} \sqrt{\frac{2}{\pi}} f(t)e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \Bigint_{\mathbb{R}} \sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{\Bigcup_{k\ge 1}A_k}(t) dt = \Bigint_{\mathbb{R}} \Bigsum_{k\ge 1}\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t) dt = \Bigint_{\mathbb{R}} \lim_{N\to +\infty}\Bigsum_{k=1}^N\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t) dt.


Posons donc \Large{ \varphi_N(t)=\Bigsum_{k=1}^N\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t)} et pourvu que la fonction \Large{f} soit mesurable, positive, alors comme un produit, une somme et une composée de fonction mesurable est toujours mesurable, alors \Large{\varphi_N} est aussi mesurable, positive. La suite \Large{(\varphi_N)_N} est même croissante car c'est la somme partielle d'une série à terme positif (toujours pourvu que \Large{f} soit positif).


Par conséquent, \Large{(\varphi_N)_N} est une suite croissante de fonctions mesurable positives : Beppo-Lévi s'applique.


\Large \mu( \Bigcup_{k\ge 1}A_k ) = \Bigint_{\mathbb{R}} \lim_{N\to +\infty}\Bigsum_{k=1}^N\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t) dt = \lim_{N\to +\infty} \Bigint_{\mathbb{R}} \Bigsum_{k=1}^N\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t) dt.


Enfin, en utilisant la linéarité de l'intégrale, on a : \Large \mu( \Bigcup_{k\ge 1}A_k ) = \lim_{N\to +\infty} \Bigint_{\mathbb{R}} \Bigsum_{k=1}^N\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t) dt = \lim_{N\to +\infty} \Bigsum_{k=1}^N\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{\mathbb{R}} f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\mathbb{1}_{A_k}(t) dt.


Et donc on a bien ce que l'on veut.
Qu'en penses-tu ?

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 08-10-08 à 07:23



(enfin, c'est ce que je ferai)

Citation :
... si f=1 on a la densité de la loi normale


C'est exact carpediem, et personnellement, je l'utilise pour démontrer l'inégalité de iii) (en utilisant l'inégalité d'Hölder).
Cependant, pour utiliser Jensen, la seule fonction convexe que je vois, qui serait utilisable ici, est la fonction puissance :

    uub

mais elle ne m'a pas permis d'aboutir. En revanche, l'inégalité d'Hölder (j'insiste lourdement !!! ... )

Maintenant, si tu as une démonstration de cette inégalité en utilisant Jensen, je veux bien voir  

A +

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 08-10-08 à 13:12

En fait, pour appliquer Jensen il nous faut un espace de masse 1. On a montré en i) que quelque soit la fonction \Large{f\ge 0}, \Large{\mu} est une mesure positive.
Maintenant, si on prend pour \Large{f}, la fonction constant égale à 1 on a :

\Large\mu(]0,\infty[)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{]0,\infty[}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sqrt{2\pi}}{2}=1.



Maintenant, la question que je me pose, c'est de savoir si on est obligé d'appliquer Jensen avec la mesure \Large{\mu} défini pour les boréliens de \Large{]0,1[} par \Large\mu(A):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_Ae^{-\frac{t^2}{2}}dt ?



Car sinon, en prenant \Large f(t)=t^{a-1} et \Large \varphi(x)=x^b, ça semble fonctionner !

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 08-10-08 à 17:18

effectivement je parlais de f= 1 pour dire qu'in faut une masse totale de 1 mais on peut toujours s'y ramener en multipliant par le coeficient adéquat devant l'intégrale et en prenant la fonction puissance uub qui est distributive par rapport au produit on peut appliquer l'inégalité de Jensen
maintenant reste à définir le bon coefficient que l'on trouve je pense en déterminant la valeur de l'intégrale du ii)

mais ce qui me gène dans ton énoncé du iii) dans la 2e intégrale c'est que tu prends fb mais pas l'exponentielle à la puissance b....

désolé de n'avoir envoyé qu'un post incomplet (le précédent) mais avec LTX j'ai encore du mal et passé un temps fou...

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 08-10-08 à 17:43

désolé on n'applique u^b qu'à f mais il ne faut pas oublier le coef\sqrt{\frac{2}{\pi}} car d=exp(-t²/2)dt

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 08-10-08 à 20:09

Je ne comprends pas comment calculer \Large d\mu(t) !

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 08-10-08 à 20:13

Je doit m'absenter pour deux jours, je verrai tout ça vendredi

Bon courage

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 08-10-08 à 20:40

d(t) est le produit de la mesure de Lebesgue dt par la fonction de densité exp(-t²/2)...

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 08-10-08 à 20:41

fois le coef pour obtenir 1 à l'intégrale...

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 08-10-08 à 20:48

Mais pourquoi ?

Posté par
carpediemintégration : application de Jensen 08-10-08 à 21:19

pour que l'intégrale totale fasse 1 et donc appliquer l'inégalité de Jensen
comme tu l'écrit dans le post de 13h12

avec tes notations:
[int fd)=<int o fdu

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 08-10-08 à 23:02

On souhaite montrer que \Large{\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \le (\frac{2}{\pi})^{\frac{1-b}{2b}}(\Bigint_0^{+\infty}t^{(a-1)b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^{\frac{1}{b}}.

Ceci revient à montrer que \Large{(\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^b \le (\frac{2}{\pi})^{\frac{1-b}{2}}(\Bigint_0^{+\infty}t^{(a-1)b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)




Je voudrais donc voir apparaître \Large{\varphi(\Bigint_0^{+\infty}f(t)d\mu(t))} dans l'expression \Large{(\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^b}.

Déjà, il faut \Large \varphi(x)=x^b et \Large{f(t)=t^{a-1}. Avec \Large{d\mu(t)=exp(-\frac{t^2}{2})dt comme tu le prétends, ça fonctionne très bien! Seulement je ne vois pas pourquoi, pour \Large{\mu} définie comme dans le post initial, on a \Large{d\mu} qui vaut ce que tu prétends!

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 11-10-08 à 18:55

Bonjour à tous

Après trois jours d'abscences, je vois que visiblement on a pas perdu son temps !

Citation :
Avec \Large{d\mu(t)=exp(-\frac{t^2}{2})dt comme tu le prétends, ça fonctionne très bien! Seulement je ne vois pas pourquoi, pour \Large{\mu} définie comme dans le post initial, on a \Large{d\mu} qui vaut ce que tu prétends!



Ben, heu... moi non plus  

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 11-10-08 à 18:58

Salut Fradel!


J'ai pas plus avancé sur ce problème! Il y a un spécialiste d'intégration sur ce forum, j'espère qui passera nous voir

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 12-10-08 à 10:28

Salut H_aldnoer  

Je crois que j'ai pigé, mais je ne suis pas sûr de ce que j'écris :
on oublie tout ou presque de la première question.
Comme tu l'as écrit :
  \Large\mu(]0,\infty[)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{]0,\infty[}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sqrt{2\pi}}{2}=1

Ainsi, \Large\mu est une mesure positive, de masse totale égale à 1 sur  ]0,\infty[
On a :
    \Large{d\mu(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}dt}

Utilisons alors l'inégalité de Jensen :
    \Large{\varphi(\Bigint_0^{+\infty}f(t)d\mu(t))}=\Bigint_{]0,\infty[}\Large{\varphi(f(t))\Large{d\mu(t)

On a donc :
     \Large{((\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^b=(\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}(\Bigint_0^{+\infty}t^{(a-1)b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)

Le résultat en découle ; qu'en penses-tu ?

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 12-10-08 à 10:42

Rectificatif ; on a :
   \Large{d\mu(t)=\frac{2}{\pi}e^{-\frac{t^2}{2}}dt}

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 12-10-08 à 10:45

Décidément, je ne sais passi je vais l'écrire sans me tromper   :
  \Large{d\mu(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt}

Cette fois ci ça correspond à ce que je voulais dire  

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 12-10-08 à 10:52

Bonjour Fradel,


comment trouves-tu \Large d\mu(t) ?

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 12-10-08 à 18:52

Plus précisément, je pose, pour t ]0, +[:
     \Large{d\mu(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt}
alors, pour toute partie  A  de  ]0, +[, on a :
     \Large\mu(A)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{]0,\infty[}e^{-\frac{t^2}{2}}\Large \mathbb{1}_{A}(t)dt
En particulier :
     \Large\mu(]0,\infty[)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Bigint_{]0,\infty[}e^{-\frac{t^2}{2}}\Large\mathbb{1}_{]0,\infty[}(t)dt=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sqrt{2\pi}}{2}=1

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 12-10-08 à 21:48

Je ne comprend toujours pas ce qu'est la quantité \Large d\mu(t).


Comment déduire \Large\mu(A) à partir de \Large d\mu(t) ?

Posté par
Fradelre : Intégration : application de Jensen 13-10-08 à 11:24

Je vais essayer d'être clair .
D'abord, oublions tout ou presque des questions i) et ii). Je veux dire que \Large\mu ne sera pas la même dans cette question que dans les précédentes.


Mais d'abord, je m'aperçois à l'instant, que j'ai écris des égalités au lieu d'inégalités   (je ne suis vraiment pas doué en tex : l'écriture nécessite pour moi beaucoup de concentration au détriment du contenu); il convient de lire ci-dessus :
   \Large{\varphi(\Bigint_0^{+\infty}f(t)d\mu(t))}\le\Bigint_{]0,\infty[}\Large{\varphi(f(t))\Large{d\mu(t)
au lieu de
   \Large{\varphi(\Bigint_0^{+\infty}f(t)d\mu(t))}=\Bigint_{]0,\infty[}\Large{\varphi(f(t))\Large{d\mu(t)
et de même,
   \Large{((\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^b\le(\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}(\Bigint_0^{+\infty}t^{(a-1)b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)
au lieu de
    \Large{((\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}\Bigint_0^{+\infty}t^{a-1}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^b=(\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}(\Bigint_0^{+\infty}t^{(a-1)b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)



De façon à éviter toute longueur, je t'invite à télécharger, si tu ne l'as pas déjà, le poly de proba "Mesure et Proba" d'Olivier Garet, Université d'Orléans. Il pourra t'être utile à d'autres occasions
Je vais en effet ic utiliser le langage des probabilités puisque la mesure dont il est ici question est, en fait une mesure de probabilité (voir page 3 et 4 du poly)

La fonction \Large{g} définie sur ]0,+[ par:
  \Large{g(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}}
possède toutes les propriétés des densité de probabilité de variables aléatoires à densité:
  positivité, continuité presque partout sur , intégrable, d'intégrale égale à 1.
Soit \Large{X} une variable aléatoire ayant \Large{g} pour densité.

D'après les propriétés 2.4.1 de la page 26 du poly, on a :
     \Large{P(X \le x)=\Bigint_0^{x}g(t)}dt=\Bigint_{]0,\infty[}g(t)\mathbb{1}_{]0,x[}(t)dt
On note alors :
     \Large{P(X \le x)=\Bigint_{]0,\infty[}\mathbb{1}_{]0,x[}(t)}dP(t)
et
     \Large{dP(t) = g(t)}dt

Dans l'exercice, La probabilité P a été noté .

Maintenant que j'ai traduit ton énoncé en un énoncé de proba, je réalise que
      \Large{\varphi(\Bigint_0^{+\infty}f(t)d\mu(t))}\le\Bigint_{]0,\infty[}\Large{\varphi(f(t))\Large{d\mu(t)
est en fait l'inégalité de Jensen ... en probabilité

j'espère, cette fois-ci, ne pas avoir fait de fautes  . J'ai relu mais, sait-on jamais ...

A+

Posté par
H_aldnoerre : Intégration : application de Jensen 13-10-08 à 13:53

Bonjour,


en fait, un ami m'a branché sur un truc.
\Large\mu(A)=\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{A}d\mu(t) par définition !

Maintenant, si on identifie \Large\Bigint_{\mathbb{R}}\mathbb{1}_{A}(t)d\mu(t) et \Large\Bigint_{\mathbb{R}}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathbb{1}_A(t)f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt, on obtient \Large d\mu(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}f(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt.

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