Niveau BTS

intégration-changement de variable

Posté par
BlueWolf9 04-02-09 à 08:18

Salut

j'ai un changement de variable à faire : lnx/(1+x²)dx dans l'intervalle [1/a;a]
avec pour changement de variable t = 1/x

pour le resultat, j'ai trouvé : (-x²*(lnx))/(1+1/x²)dt dans l'intervalle [a;1/a]
le souci c'est qu'apres je n'arrive pas à trouver la primitive.
Alors j'aimerai savoir si mon changement de variable est juste

Merci

Posté par re : intégration-changement de variable 04-02-09 à 09:08

Tu mélanges les x et les t dans l'expression.

Et il y a une erreur de signe

Posté par re : intégration-changement de variable 04-02-09 à 09:13

je comprend pas une fois que j'ai trouver dx je dois le remplacer dans la premiere fonction , non ?

Posté par re : intégration-changement de variable 04-02-09 à 09:26

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]
Soit g une fonction continue dérivable et de dérivée continue sur [a,b] et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f
alors $3$\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\text{d}x = \int_a^b f(g(t))g'(t)\text{d}t$
$3$f(x)=\frac{\ln(x)}{1+x^2} \\ g(x)=\frac1x \\ g'(x)=-\frac1{x^2} \\$
$3$ I = \int_{\frac1a}^{a}\frac{\ln(x)}{1+x^2}\text{d}x = \\ \int_a^{\frac1a} \frac{\ln(\frac1t)}{1+(\frac1t)^2}(-\frac1{t^2})\text{d}t = \\ \int_a^{\frac1a} \frac{\ln(t)}{t^2+1}\text{d}t = -I$

D'où le résultat I=0

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