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Intégration par changement de variables

Posté par
mhalter 03-11-08 à 08:27

Bonjour,

Nous sommes en train d'étudier en maths les intégrales (intégration directe, par parties, par changement de variables)

A force d'acharnement, je commence à comprendre le fonctionnement des intégrations par parties (intégration directe acquise), par contre, les intégrations par changement de variables, ça ne passe pas...

Tout d'abord, mon premier gros soucis est que je n'arrive pas à reconnaître les intégrales auxquelles il faut faire un changement de variables. Question qui en découle... A quoi sert un changement de variables?

En cherchant un peu sur internet, je suis tombée sur ce topic:
https://www.ilemaths.net/sujet-integration-par-changement-de-variable-186097.html

Je ne comprends pas comment il trouve ses nouvelles bornes (notamment celle du haut)

En vous remerciant à l'avance pour votre aide,
Je vous souhaite une bonne journée

Posté par
pythamedere : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 09:14

Je pense que tu as choisi un mauvais exemple !

Le changement de variable u=x² n'est pas valable ici car x² n'a pas de réciproque sur cet intervalle à cheval sur 0.

L'auteur du post écrit :

u=x²

donc

x=|u| ce qui est évidemment faux dans les x négatifs !

On peut prendre un exemple simple :

A=\int_{-1}^{+1}\, 3x^2dx

D'une part, on peut intégrer directement par :

A= [x^3]_{-1}^{1} = 1^3-(-1)^3=2

D'autre part, si l'on tolère la même méthode :

u=x^2

du=2xdx

x=|\sqrt{u}|

Donc borne inférieure = |\sqrt{-1)^2|=1
Donc borne supérieure = |\sqrt{1)^2|=1

Ca fait donc : A=\int_1^1\,\frac{3u}{2x}du=\int_1^1\,\frac{3u}{2|\sqrt{u}|}du = 0

Ce qui est donc FAUX !

A mon avis, bien que je ne me rappelle pas bien les conditions nécessaires d'un changement de variable il me semble qu'un changement de variable n'est possible que par une formule x=\phi(u) où \phi est une fonction qui a une dérivée continue : ce n'est pas le cas de x=|\sqrt{u}|

Et je pense que c'est bien pour cela que tu n'as pas compris !

Si tu as une intégrale \int_{a}^{b}\,f(x)dx, tu peux faire le changement de variable x=\phi(u), tu remplaces f(x) par f(\phi(u)) et tu calcules du=\phi'(x) dx, d'où dx=\frac{du}{\phi'(x)}=\frac{du}{\phi'(\phi(u))} et les bornes deviennent respectivement \phi(a) et \phi(b).

Et ton intégrale devient : \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}\,\,\frac{f(\phi(u))}{\phi'(\phi(u))}\,du


Sous réserves quand même ...

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 14:39

Coucou et merci d'avoir pris le temps de me répondre,

Effectivement, tu es dans le vrai. C'est à peu de choses près ce que dit mon cours.
Même si je ne comprends toujours pas ...

Par exemple, pour 00,86 (2x/2x+1) dx

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 14:41

Faut-il faire un changement de variables ?
Car je ne trouve aucune des fonctions usuelles vues en cours à appliquer dans ce cas.

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 14:58

Bonjour

3$\rm \frac{2x}{2x+1}= \frac{2x+1-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x+1} - \frac{1}{2x+1} = 1 - \frac{1}{2x+1}=1 - \frac{1}{2}\times\frac{1}{x+1/2}

En intégrant, tu obtiens:

3$\rm x - \frac{1}{2}ln(x+\frac{1}{2})

Sauf erreur.

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 15:19

Jeanseb,

Peux-tu m'expliquer pourquoi 2x+1-1?
Car tu changes la primitive en faisant cela, sans soustraire 1 au dénominateur ...

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 15:25

Excuse-moi, je viens de te relire et c'est juste.
J'ai trouvé:

ln(e)/2 avec e=2,72 (comme précisé dans l'énoncé)

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 15:29

Euh, là, tu m'en bouches un coin...tu es en licence?

Citation :

Peux-tu m'expliquer pourquoi 2x+1-1?


Le numérateur est 2x

2x= 2x+1-1    car +1-1 = 0

Je n'ai ajouté au numérateur que pour retrancher, je n'ai donc rien modifié au numérateur.

Simplement, ca permet de faire apparaitre 2x+1 au numérateur, qui va se simplifier avec le denominateur.

Citation :
sans soustraire 1 au dénominateur ...


Maintenant, j'espère que tu sais que si on ajoute (ou soustrait) un même nombre au numérateur et au dénominateur, on trouve très rarement une quantité égale...

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 15:40

Je t'ai mal lu et ai parlé trop vite!
Oui, je suis en licence pour répondre à ta question

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 15:45

OK. J'ai eu un peu peur...

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:05

En tout cas, c'est une méthode que je ne connaissais pas ( "+1 -1" ) pour les intégrales mais que je saurai réutiliser à l'avenir. Merci, encore un nuage de moins sur les intégrales

Par contre,

On nous demande de calculer I(M)= 00,862(x-M)²/(2x+1)dx
avec M élément de l'intervalle [0;0,86]

Si quelqu'un pouvait me donner la démarche à suivre ...
Si M [0;0,86], M est une constante qu'on peut sortir de l'intégrale ?

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:19

3$\rm \frac{2(x-M)^2}{2x+1} = \frac{2x^2 - 4 M x + 2M^2}{2x+1} = \frac{2x^2 + x - x - 4 M x + 2M^2}{2x+1}= \frac{2x^2 + x}{2x+1} + \frac{(-1- 4 M) x + 2M^2}{2x+1} = x + \frac{(-1- 4 M) x + 2M^2}{2x+1}

3$\rm l'idee est de faire le quotient de (2x^2 - 4 M x + 2M^2) par (2x+1)= x + a + \frac{b}{2x+1}

il faut trouver le a et le b... à toi!

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:20

a = (-1-4M)/2  d'après ce qui est écrit

Il te reste a trouver b.

Posté par
pythamedere : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:30

Là je te conseille de diviser (x-M)² par (2x+1) :

(x-M)^2=(2x+1)\times[(\frac{1}{2})x -(M+\frac{1}{4})]+(M+\frac{1}{2})^2

D'une façon générale, si tu as à intégrer la fraction rationnelle \frac{ax^2+bx+c}{dx+e}, ax^2+bx+c peut toujours se transformer en (a'x+b')(dx+e)+c' et par conséquent ta fraction devient :

\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}=\frac{(a'x+b')(dx+e)+c'}{dx+e}=\frac{(a'x+b')(dx+e)}{dx+e}+\frac{c'}{dx+e}=a'x+b'+\frac{c'}{dx+e} très facile à intégrer !

Ici donc :

I(M)=\int_0^{0.86}\,\,\frac{2(x-M)^2}{2x+1}\,dx=2\int_0^{0.86}\,\,[(\frac{1}{2})x -(M+\frac{1}{4})]+\frac{(M+\frac{1}{2})^2}{2x+1}\,dx
dont l'intégration est immédiate !

Euh, ... sauf erreur, bien sûr ! Mais c'est la méthode qu'il faut retenir !

Posté par
pythamedere : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:32

Désolé jeanseb ! Je n'avais pas vu que tu avais répondu pendant que je préparais une réponse !

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:38

A la dernière ligne,
es-tu sûr que tu trouves 2x²?
Car suivant la ligne d'avant, logiquement ce serait plutôt -x

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 16:44

> pythamede : pas de souci...

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 17:21

C'est sans doute très bien expliqué, mais trop bien expliqué pour moi
Mais je continue de bosser dessus

Jeanseb,tu es d'accord que je ne puisse pas te donner la fin de la réponse, si je ne comprends pas le début... J'aimerais pouvoir refaire ce calcul toute seule

Posté par
jeansebre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 17:23

C'est comme tu le sens, mhalter...

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 18:09

Pythamede où as-tu trouvé cette formule?
Ou a-t-elle un nom peut-être ?? Que je puisse faire des recherches.. Car je lâcherai pas le bout avant que je comprenne vos calculs!

Posté par
pythamedere : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 23:01

ha, ha ! Coriace hein !

Je commence par un exemple simple :

Soit à calculer la dérivée de \frac{3x+1}{x-2}. Les courageux posent u(x)=3x+1, v(x)= x-2, écrivent soigneusement sur un bout de papier u'(x)=3, v'(x)=1
Puis ils sortent la formule magique : (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

Ca marche, certes, mais les calculs sont un peu compliqués et la probabilité de se tromper est grande : crois-en ma grande expérience ! Et moi, les courageux je n'en fais pas partie ! Moi, je suis extrêmement paresseux ! Alors je préfère une méthode simple.

Je remarque que 3x-6 est le triple de x-2 ! Ca m'aurait bien plu qu'au lieu de devoir dériver \frac{3x+1}{x-2} je doive dériver \frac{3x-6}{x-2} ! Qu'à cela ne tienne. Une chose méconnue est que 3x+1 est précisément égal à 3x-6+7 : je suis sûr que tu l'ignorais !

Donc j'écris :

\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3x-6+7}{x-2}=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{7}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}

Pour dériver c'est alors un jeu d'enfant :
[\frac{3x+1}{x-2}]'=[3+\frac{7}{x-2}]'=-\frac{7}{(x-2)^2}
C'est plus simple, beaucoup moins fatiguant, et je me trompe beaucoup beaucoup beaucoup moins souvent. Et en plus, j'économise de l'encre ! Que demande le peuple ?

Pour intégrer, c'est non seulement plus simple mais c'est quasiment obligatoire. Intégrer \frac{3x+1}{x-2}, je ne sais pas faire. Mais une primitive de 3+\frac{7}{x-2} je trouve tout de suite 3x+7\ln(|x-2|) !

En fait, remplacer \frac{3x+1}{x-2} par 3+\frac{7}{x-2}, c'est purement et simplement effectuer une division de polynômes : je divise 3x+1 par x-2 et je trouve que le quotient est 3 et le reste est 7 :

3x+1 = 3*(x-2) +7

jeanseb l'a dit à 16H19 ci-dessus !

Ce que je fais avec cette fraction rationnelle, je peux le faire avec une autre plus compliquée :

Par exemple f(x)=\frac{3x^2-5x+6}{x-2} La division de 3x^2-5x+6 par (x-2) me donne un quotient de 3x+1 et un reste de  8. Cela veut dire que 3x^2-5x+6 = (x-2)*(3x+1) +8

Alors, \frac{3x^2-5x+6}{x-2} peut s'écrire \frac{(x-2)*(3x+1) +8}{x-2}=3x+1+\frac{8}{x-2}

La dérivation est alors instantanée : [\frac{3x^2-5x+6}{x-2}]'=[3x+1+\frac{8}{x-2}]'=3-\frac{8}{(x-2)^2}

Trouver une primitive est instantané : \frac{3x^2}{2}+x+8\ln(|x-2|)

Et en prime, on a immédiatement l'existence et l'équation de l'asymptote :

En effet : f(x) = x-2+\frac{8}{x-2} veut bien dire que f(x)-(x-2) = \frac{8}{x-2}, c'est à dire un truc qui tend vers 0 quand x tend vers +\infty ou vers -\infty ! Il y a donc une asymptote d'équation y=x-2 Et on a aussi la position de la courbe C_f par rapport à son asymptote !

Tu vas me dire que tu n'as jamais appris à faire une division de polynôme. Effectivement, ce n'est pas au programme. Mais tu en as fait quand même en première. Rappelle toi les problèmes du genre :

Trouvez trois réels a,b et c tels que : \frac{3x^2-5x+6}{x-2}=ax+b+\frac{c}{x-2}, après on te demandait de trouver une asymptote, et on te demandait la position de la courbe par rapport à celle-ci ! C'est ce que disait ci-dessus jeanseb !

Eh bien c'est pareil !

En effet :

ax+b+\frac{c}{x-2} = \frac{(ax+b)(x-2)+c}{x-2}

Donc si \frac{3x^2-5x+6}{x-2}=ax+b+\frac{c}{x-2} cela veut dire que 3x^2-5x+6=(ax+b)(x-2)+c, c'est à dire que ax+b est le quotient de 3x^2-5x+6 par (x-2) et que c est le reste dans cette division !

Il existe une méthode, tout à fait similaire à la division des nombres entre eux, pour effectuer cette fameuse division, mais l'exemple ci-dessus montre bien que tu peux facilement le faire tout simplement par identification, comme tu l'as fait des dizaines de fois en première !

Pour trouver le quotient et le reste, tu écris simplement :

3x^2-5x+6=(ax+b)(x-2)+c

tu développes et tu identifies les coefficients ! Donc, tout comme M. Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir, tu sais faire des divisions de polynômes, mais tu ignorais que tu savais le faire !

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 23:07

Ouf te revoila!
Je préfère te lire demain matin la tête reposée, car je tombe de fatigue.
En cherchant, j'ai compris que tu avais trouvé ta première ligne en suivant la méthode relative à une division euclidienne (que je ne connaissais plus!) et trouve presque la même chose que toi, à savoir:

[(2x+1)(1/2x -M - 1/4) + (M+ 1/4)²]/(2x+1)

J'ai tout de même essayé de calculer l'intégrale mais j'ai trouvé un résultat plus que farfellu!

Merci de m'aider,
à demain

Posté par
mhalterre : Intégration par changement de variables 03-11-08 à 23:23

J'ai pas résisté, merci c'est très bien expliqué.
Je vais imprimer cette explication que je puisse m'en servir demain pour mes calculs.

Par contre, une chose est sûre
C'est la première fois que j'entends parler de la méthode que nous sommes sencés avoir étudiés en première. Pour cause, j'ai commencé par un bac technologique (STG), ce qui explique certainement que je puisse avoir certaines lacunes concernant certaines choses...

C'est pour ça que vos calculs ne tombaient pas sous le sens avec moi, bien que très bien expliqué

Pourras-tu juste vérifier ton calcul? Car j'ai vérifié le mien, et "je n'ai pas l'impression" d'avoir fait d'erreur (c'est beaucoup dire!).
Puis une dernière petite question: Dans ce type de divisions, comment savoir quand s'arrêter (par rapport au reste R) ?

Posté par
pythamedere : Intégration par changement de variables 04-11-08 à 18:03

Comment as-tu vérifié ?

Une manière de vérifier est de relire l'ensemble du calcul avec attention : mais c'est peu efficace, en principe on ne voit pas son erreur !

Lorsque j'ai un doute sur mes calculs, j'essaie de trouver un moyen autre que le calcul lui-même pour le vérifier ! Et si je n'en trouve pas, je prends une feuille blanche et je recommence !

Ici, j'ai trouvé un moyen de vérifier : donner une valeur particulière à M !

J'ai dit que (x-M)^2=(2x+1)[\frac{x}{2}-(M+\frac{1}{4})]+(M+\frac{1}{2})^2

Si M=0, cela devient :

x^2=(2x+1)[\frac{x}{2}-\frac{1}{4}]+(\frac{1}{2})^2

Le deuxième membre vaut : x^2-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=x^2
Ca a donc l'air de marcher au moins pour M=0 !

Tu as dit : (x-M)^2=(2x+1)[\frac{x}{2}-(M+\frac{1}{4})]+(M+\frac{1}{4})^2

Si M=0, cela devient :

x^2=(2x+1)[\frac{x}{2}-\frac{1}{4}]+(\frac{1}{4})^2 soit \frac{1}{4}-\frac{1}{16} de moins que moi...

Conclue toi-même !

Citation :
Dans ce type de divisions, comment savoir quand s'arrêter (par rapport au reste R) ?


Tu arrêtes après avoir déterminé le monôme de degré 0 du quotient !


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