Salut

Ok pour la a).

Fait une IPP en posant u'=x^(n-1) et v=(ln(x))^k

je trouve ça:

L_k=[(1/n)xⁿ)(ln x)^k)](1 à 3) - k*(1/n)*(1/x)xⁿ(ln x)^k-1dx

Une petite remarque, x est la variable d'intégration dans ton intégrale, tu n'as donc pas le droit de le sortir de l'intégrale comme tu le souhaite, en terminant les calculs et en rectifiant cela tu trouves quoi comme relation de récurrence entre L(k) et L(k-1) ?

(C'est le même principe que dans ton autre topic, celui où Narhm t'explique (il explique très bien d'ailleurs !))

a oui je suis bête je le sais en plus

donc je trouve :

L_k=[(1/n)xⁿ)(ln x)^k)](1 à 3) - k*(1/n)(1/x)xⁿ(ln x)^k-1dx =[(1/n)xⁿ)(ln x)^k)](1 à 3) - k*(1/n)x^n-1(ln x)^k-1dx = ((1/3)3ⁿ)(ln 3)^k-1-(k/n)L_k-1

je m'aperçoit que c'est le mm pb que mon premier exercice et ke je bloque encore. -_-"

Je crois que tu t'es juste trompé sur un exposant mais c'est principalement ça qu'il fallait trouver. une idée pour la suite ?

non, je vois comment faut faire mais aucunes idée sur comment le faire et quoi trouver.
la première partie de l'intégrale me bloque l'autre partie je dois trouver quelque chose comme [(k(k-1)...(k-(p-1)))/n^k-(p-1))]L_k-p où k-p=0 ?

on peut m'aider svp j'en ai vraiment besoin

Finalement tu as trouvé la relation liant L_k+1 et L_k ?

ben a par celle que j'ai mise en haut c'est à dire :
(1/n)3ⁿ(ln 3)^k - (k/n)L_k-1
j'ai pas trouvé plus court :S

Ah oui pardon.
D'accord, donc ca c'est ok.

Maintenant, il faut qu'on arrive à trouver l'expression générale de L_k en fonction de L₀,k et n.
En commencant à écrire à la suite L_k=(1/n)3ⁿ(ln 3)^k -(k/n)L_k-1=(1/n)3ⁿ(ln 3)^k -(k/n)((1/n)3ⁿ(ln 3)^k-1-(k-1)/nL_k-2)=...
Tu arrives à deviner une allure générale pour l'expression de L_k ? ( C'est pas forcement évident au premier coup d'oeil )

alors j'ai fais exactement ce que tu as fait mais justement c'est là ou je bloque, depuis taleur j'essaie de trouver mais je n'arrive pas non à voir la formule...je me retrouve avec une formule de trois kilomètres

je trouverais sa mais j'en suis vraiment pas sure:

(k-(p-1))!/n^p * [((1/n)3ⁿ)-(ln 3)^(k-(p-1))!] + (k-(p-1))!/n^pL_k-p où k-p=0
mais après je crois que les signes se n'est pas trop sa ...

Oui je confirme, la formule n'est pas très belle :s

C'est souvent problématique, si on n'arrive pas à voir la tête de la formule, on est complètement bloqué...
Essaie de vérifier que pour tout n fixé, pour tout k>2 :

elle est super dure la formule je ne suis pas sure de tout comprendre

Que ne comprends-tu pas dans la formule ?

je reste bloquée en partie sur k!/n^(k-1) et sur k!/(k-i)! et sur le pk on commence a k-2 pour le signe somme

Je t'explique comment j'ai fait.
Pour k=0,1,2 c'est très simple.
J'ai cherché une généralisation pour k>2.
Donc j'ai pris au pif, k=5, j'ai tout développer avec la formule de récurrence liant Lk et Lk-1, puis j'ai regroupé les termes qui se ressemblaient, agencé comme j'ai pu et il en est ressorti le résultat que je te propose.

Ensuite pour en être sur, je vérifie ma formule par récurrence.

d'accord merci j'ai compris, j'ai toujours eu bcp de mal à comprendre les formules ou on se retrouve avec les signes ....

pour la dernière question, en déduire en fonction de n et k il faut que je calcule L0 ?

Oui c'est bien ca

ok je l'ai calculé mais en mm tps je me suis aperçue que c'est la réponse à la question a) donc (1/n)((3^n)-1)
je remplace ça dans dans la formule précédente et c'est bon ?

Oui normalement.
Je vais quand meme revérifier ma formule parce que j'ai peut-être fait une erreur dedans.
Je te redonne la bonne formule dans quelques minute.
Sinon, une fois la formule trouvée, le calcul de L0 étant fait , oui y a plus rien à faire.

Le plus dur ici c'est de conjecturer la bonne formule et de la vérifier par récurrence ( "long" et calculatoire ... )

d'accord j'attends ta confirmation alors

Ah voilà, j'avais bien une petit erreur. A force de retourner la formule dans tous les sens, j'ai fait deux petites erreurs ( en particulier le rang k-1 dans la somme qui manquait et une erreur sur la puissance de n devant L0).

Pour résumer :
Pour tout n>0 :






Formule que l'on démontre par récurrence.

Je te remercie bcp pour ton aide, je n'aurais jamais jamais trouvé sans toi, merci aussi à Olive_68 pour ton aide.
Je vous souhaite à tous les 2 une bonne nuit et encore merciii

De rien, passez une bonne nuit aussi à vous tous