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Intégration Pratique 1

Posté par
H_aldnoer 24-09-08 à 23:55

Bonsoir,

petit souci technique sur cette exercice;


Enoncé
Soit \Large{\Omega} un ensemble, \Large{\mathcal{T}} une tribu et \Large{\mu : \mathcal{T} \to [0,\infty]} une mesure.

On se donne \Large{f : \Omega \to [0,\infty]} une fonction \Large{(\Omega,\mathcal{T})-([0,\infty],\mathcal{B}) mesurable.

On suppose qu'il existe \Large{T>0} tel que \Large{\Bigint_{\Omega}f(w)^Td\mu(w) <\infty} et \Large{\Bigint_{\Omega}f(w)^{-T}d\mu(w) <\infty}.


a) Montrer que les ensembles \Large{\{w\in\Omega,\, f(w)=0\}} et \Large{\{w\in\Omega,\, f(w)=+\infty\}} sont \Large{\mu}-négligeable.

b) On suppose que \Large{f(\Omega)\subset ]0,\infty[. Sous les hypothèses du a), vérifier que si \Large{z\in\mathbb{C}} est tel que \Large{Re(z)\in [-T,T]} alors les fonctions :

(i) \Large{w\to (f(w))^z}
(ii) \Large{w\to ln(f(w))^k} , \Large{\forall k\in\mathbb{N}}

sont intégrables relativement à la mesure \Large{\mu}.

c) Montrer que si deplus \Large{|z|<T} alors \Large{\Bigint_{\Omega}f^zd\mu=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\Bigint_{\Omega}ln(f(w))^kd\mu(w)\frac{z^k}{k!}.


Mes réponses
a) Ceci, je l'ai fait.

b) Ici, j'ai bien fait le (i) mais j'ai plus de mal sur le (ii).
Le corrigé donne quelque chose du genre :

"On a \Large{\Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w)\le\Bigint_{\{f\in]0,1[\}}f^{-T}d\mu+\Bigint_{\{f\in[1,+\infty[\}}f^{T}d\mu et ceci prouve l'intégrabilité de toutes les fonctions \Large{w\to ln(f(w))^k}"
Je ne saisi pas pourquoi !

En effet, pour moi il s'agit de regarder \Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w), non ?
A moins que l'on ait :
\Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w)\le \Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w)

mais la je ne le vois vraiment pas !

c) Ici, je cherche encore.


D'avance merci pour votre aide.

Posté par
carpediemintégration pratique 1 25-09-08 à 00:56

salut H_aldnoer

bon ça fait loin tout ça mais qq remarques:
pour c)fz=exp(zlnf) que tu transformes en série pour avoir ton 2e membre : donc il faut prouver qu'on peut intervertir les symboles intégrales et de sommation
et ça doit venir de b)ii et i)

maintenant pour b)ii) c'est "presque" la même chose mais en mettant T à la place de z (en fait z généralise le cas k !!)

le pb quand tu prend le ln de f c'est quand f=0 mais par hypothèse c'est-négligeable

enfin voila si ça peut te faire avancer un peu
mais faut absolument que je revois toute cette théorie

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 25-09-08 à 01:23

Citation :
pour c)fz=exp(zlnf) que tu transformes en série pour avoir ton 2e membre : donc il faut prouver qu'on peut intervertir les symboles intégrales et de sommation
et ça doit venir de b)ii et i)

Ceci ok, je m'en doutais bien ...

Citation :
maintenant pour b)ii) c'est "presque" la même chose mais en mettant T à la place de z (en fait z généralise le cas k !!)

le pb quand tu prend le ln de f c'est quand f=0 mais par hypothèse

J'ai pas trop saisi ou tu voulais en venir...

Citation :
enfin voila si ça peut te faire avancer un peu
mais faut absolument que je revois toute cette théorie

Pas trop, mais bon, merci quand même
Je te suggère mon poly de cours si tu veux ...

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 25-09-08 à 16:07

Toujours dans l'optique de faire cette question b), (ii).
Voila ou je galère ...


Je souhaite donc montrer que \Large{w\to ln(f(w))^k} est intégrable quelque soit \Large{k\in\mathbb{N}}.
Donc c'est clairement mesurable comme composée d'application mesurable.

Maintenant, il faut que je regarde si \Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w) <\infty}.



Et la je ne comprend pas le corrigé qui me dit :

Citation :
On a \Large{\Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w)\le\Bigint_{\{f\in]0,1[\}}f^{-T}d\mu+\Bigint_{\{f\in[1,+\infty[\}}f^{T}d\mu et ceci prouve l'intégrabilité de toutes les fonctions \Large{w\to ln(f(w))^k}.



En creusant un peu, je m'aperçois que \Large{\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^k=f(w)^T\,ou\,f(w)^{-T} selon que \Large{f\in]0,1[} ou \Large{f\in[1,+\infty[}.


Mais je ne vois pas cela vient faire ici!
Quel rapport avec \Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w)} ?!?

Posté par
carpediemintégration pratique 1 25-09-08 à 16:29

salut

merci pour le cours

ce que je voulais dire pour

Citation :
le pb quand tu prend le ln de f c'est quand f=0 mais par hypothèse


c'est que {f=0} est négligeable donc quand tu prends le ln ça devient infini sur un négligeable donc ça ne gène pas (de même quand tu élèves à la puissance -T ou quand tu élèves à la puissance T et que f=+inf)

n'a-ton pas pour tout k fixé [(ln x)^k]/x tend vers 0?
poser x = exp t
ce qui reste vrai si on multiplie le numérateur par T^k qui est constant
donc en prenant x=f et en sommant sur k on a le premier membre de ton inégalité

le découpage du 2e membre ne vient-il pas des hyp d'intégrabilité de f^-+T sur et des négligeables...

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 25-09-08 à 17:20

Je crois qu'on c'est mal compris!
J'ai pourtant précisé le pourquoi de mon incompréhension ...


C'est pas l'inégalité \Large{\Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w)\le\Bigint_{\{f\in]0,1[\}}f^{-T}d\mu+\Bigint_{\{f\in[1,+\infty[\}}f^{T}d\mu en elle même que je ne comprends pas !


La question, c'est de savoir pourquoi \Large{w\to ln(f(w))^k} est intégrable.
Donc en revenant à la définition, ces fonctions sont toutes mesurables et tel que \Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w)<\infty} : c'est ce que l'on doit démontrer.

Le fait qu'elles soient mesurables, ok.
Le second point me gêne plus! Surtout après avoir vu ce que propose le corrigé ...

Le corrigé propose de montrer que \Large{\Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w)<\infty il me semble.

Et je ne vois pas le rapport entre \Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w)} et \Large{\Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w).


Précisemment, pourquoi a-t-on que \Large{\Bigint_{\Omega}|ln(f(w))|^kd\mu(w)\le \Bigint_{\Omega}\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))|^k}{k!}T^kd\mu(w)} par exemple.

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 26-09-08 à 11:25

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
robby3re : Intégration Pratique 1 26-09-08 à 15:25

Salut!!:D

je sais pas si ça peut te servir mais

\large \Bigsum_{k=0}^{\infty} \frac{|ln(f(\omega)).T|^k}{k!}=T.|f(\omega)|
sauf erreur(peut-etre la valeur absolue...)

mais aprés,j'ai pas tout lu
bon courage!

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 26-09-08 à 17:10

Euh..... Non mais ça c'est ok !



\Large{\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))T|^k}{k!}=exp(|lnf(w)|T).

Et suivant que \Large{f\in ]0,1[\,ou\,f\in [1,+\infty[}, on a alors :
\Large{\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{|ln(f(w))T|^k}{k!}=f(w)^T\,ou\,f(w)^{-T}.



Mon souci, c'est de comprendre pourquoi on fait cela!

Posté par
robby3re : Intégration Pratique 1 26-09-08 à 17:12

alors là??

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 26-09-08 à 17:21

...
merci quand même.


Quelqu'un saurai-t-il m'aider ?

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 1 27-09-08 à 10:14


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