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Intégration Pratique 2

Posté par
H_aldnoer 30-09-08 à 19:44

Bonsoir,


petit souci technique sur un exercice de théorie de l'intégration.


Soit \Large{I} un intervalle de \Large \mathbb{R} et soit \Large f une fonction définie sur \Large I et à valeurs réelles tel que \Large f soit de plus monotone sur \Large I.


i) Montrer que, nécessairement, \Large f est \Large (I,\mathcal{B}(I))-(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) mesurable

ii) Si \Large I=[a,b] avec \Large -\infty < a < b < +\infty, \Large f est-elle intégrable sur \Large I relativement à la mesure de Lebesgue ?



Alors je patauge dès le i) !
En revenant à la définition, je dois montrer que \Large f^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R})) \subset \mathcal{B}(I) et ça, je ne vois pas comment le faire !

Posté par
romure : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 19:53

Bonjour H,

pour le (i) c'est la même technique qu'ici: Fonction mesurable et borliennes

Posté par
tizere : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 20:01

Bonsoir,
tu peux supposer f croissante (quitte à prendre -f).
B(R) est la tribu engendrée par les ouvert de R il suffit donc de montrer que pour tout a\in\mathbb{R},  \{f\geq a\} est mesurable car tout ouvert peut s'écrire comme réunion et intersection, complémentaire d'ensembles du type [a,+oo[.

ii) f\leq f(b)...

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 20:32

Bonsoir romu,


est-ce à dire que, pour \Large x\in\mathbb{R}, on a \Large \mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(]-\infty,x]) ?

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 20:34

Dans mon cours, on a que si l'on désigne par \Large \mathcal{O}(\mathbb{R}), les ouverts de \Large \mathbb{R}, alors \Large \mathcal{B} (\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{O}(\mathbb{R})).


Comment montrer que \Large \sigma(\mathcal{O}(\mathbb{R})) = \sigma(]-\infty,x]) ?

Posté par
tizere : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 20:39

J'ai répondu à cette question dans mon message, non ?

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 20:45

Bonsoir tize,

oui, je n'avais pas bien vu.
Donc, selon toi, on a aussi \Large \mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma([x,+\infty[) ?

Posté par
tizere : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 20:53

Oui, tout ouvert de R peut s'écrire comme réunion dénombrable de d'intervalles ouverts ]a,b[ (Cours) reste à remarquer que tout intervalle de la forme ]a,b[ peut s'écrire comme réunion d'intervalles de la forme [x,+oo[ et de l'intersection du complémentaire d'un intervalle de la forme [x,+oo[.

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 21:05

Alors le cours affirme d'emblée que \Large \mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(]a,b[) avec \Large a,b\in\mathbb{R} ?

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 2 30-09-08 à 21:24

C'est bon, j'ai écris \Large{ ]a,b[ = (\Bigcup_{n\ge 1} [a+\frac{1}{n},+\infty[) \cap ([b,+\infty[)^c }.


Donc j'en déduis \Large \mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma([a,+\infty[) avec \Large a\in\mathbb{R}.


ôte moi d'un doute stp, si \Large{A} est un ouvert de \Large{\mathbb{R}} alors \Large A\in\sigma(\mathcal{O}(\mathbb{R})) ?

Posté par
H_aldnoerre : Intégration Pratique 2 01-10-08 à 20:42

Le doute n'est plus !


J'aurai du mettre en "prélude" à mon énoncé la chose suivante : montrer que \Large \mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma([x,+\infty[)=\sigma(]x,+\infty[)=\sigma(]-\infty,x])=\sigma(]-\infty,x[) pour \Large x\in\mathbb{R}.


Avec les remarques précédantes, que tout la tribu borélienne est la tribu engendrée par les ouverts de \Large\mathbb{R} et que tout ouvert de \Large\mathbb{R} s'écrit comme réunion dénombrable de pavé ouverts de \Large\mathbb{R}, on a immédiatement que la tribue borélienne est la tribu engendrée par tous les intervalles du types \Large ]a,b[ où \Large a,b\in\mathbb{R} et \Large a<b.


Pour montrer le "prélude", il reste la partit technique dans laquelle il faut écrire (pour chacun de ces quatres intervalles \Large [x,+\infty[,\,]x,+\infty[,\,]-\infty,x],\,]-\infty,x[) l'intervalle \Large ]a,b[ comme intersection/réunion dénombrable ou complémentaire de ces mêmes intervalles.


J'ai besoin d'aide sur ce point précis!
Le point de départ doit être le même je pense, que \Large ]a,b[ = ]a,+\infty[ \cap ]-\infty,b[.


(i) Pour \Large [x,+\infty[.
J'écris \Large ]a,b[ = ]a,+\infty[ \cap ]-\infty,b[ = ]a,+\infty[ \cap ([b,+\infty[)^c. Après j'ai plus de mal avec le \Large{]a,+\infty[}. J'avais pensé a quelque chose du type \Large{]a,+\infty[ = \Bigcup_{n\ge 1} [a+\frac{1}{n},+\infty[} mais je n'en suis pas sur !


(ii) Pour \Large ]x,+\infty[.
J'écris \Large ]a,b[ = ]a,+\infty[ \cap ]-\infty,b[ = ]a,+\infty[ \cap ([b,+\infty[)^c. Après j'ai plus de mal avec le \Large{[b,+\infty[}. J'avais pensé a quelque chose du type \Large{[b,+\infty[ = \Bigcup_{n\ge 1} ]b-\frac{1}{n},+\infty[} mais je n'en suis pas sur !


(ii) Pour \Large ]-\infty,x].
J'écris \Large ]a,b[ = ]a,+\infty[ \cap ]-\infty,b[ = (]-\infty,a])^c \cap ]-\infty,b[. Après j'ai plus de mal avec le \Large{]-\infty,b[}. J'avais pensé a quelque chose du type \Large{]-\infty,b[ = \Bigcup_{n\ge 1} ]-\infty,b+\frac{1}{n}]} mais je n'en suis pas sur !


(ii) Pour \Large ]-\infty,x[.
J'écris \Large ]a,b[ = ]a,+\infty[ \cap ]-\infty,b[ = (]-\infty,a])^c \cap ]-\infty,b[. Après j'ai plus de mal avec le \Large{]-\infty,a]}. J'avais pensé a quelque chose du type \Large{]-\infty,a] = \Bigcup_{n\ge 1} ]-\infty,a-\frac{1}{n}[} mais je n'en suis pas sur !



Voila, je c'est "barbant", mais faut que je le fasse pour bien comprendre !
Si quelqu'un veut bien m'aider, ça serait cool ...


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