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integrations par parties

Posté par
jeromedu59 04-09-08 à 19:57

coucou !
j'ai une question pour un DNS ou j'ai besoin de votre aide !
je dois établir une relation entre In(a)=0a(tne-t)/n! et In-1=0a(tn-1e-t)/(n-1)! pour n2
merci d'avance !!

Posté par
Arkhnorre : integrations par parties 04-09-08 à 20:02

Bonsoir.

Effectue une intégration par parties sur I_n(a), en intégrant e^{-t} et en dérivant \frac{t^n}{n!}.

Posté par
jeromedu59re : integrations par parties 04-09-08 à 20:15

je ne vois pas trop ou tu veux en venir .Peux tu développer ton idée stp ?
Merci

Posté par
Arkhnorre : integrations par parties 04-09-08 à 20:23

Et bien tu pose 3$ u(t) = \frac{t^n}{n!} et 3$ v'(t) = e^{-t}, et tu effectues une intégration par parties comme tu as l'habitude de faire.

Posté par
Matouille2bre : integrations par parties 04-09-08 à 20:27

Bonsoir

A l'aide d'une IPP on trouve : I_n = \frac{-a^ne^{-a}}{n!}+I_{n-1}

Et par une petite recurrence le calcul de In devrait venir immediatement

Posté par
jeromedu59re : integrations par parties 04-09-08 à 20:56

Ben la relation que je dois trouver entre In et In-1 est celle que tu me propose mais à quoi servirait alors la petite récurrence ??

Posté par
jeromedu59re : integrations par parties 04-09-08 à 21:09

Je ne vois pas comment tu arrives à ce résultat matouille

Posté par
Matouille2bre : integrations par parties 04-09-08 à 22:26

I_n(a) = \bigint_{0}^a \frac{t^n}{n!} e^{-t}dt = [-\frac{t^n}{n!} e^{-t}]_{0}^a -\bigint_{0}^a -\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-t}dt = -\frac{a^n}{n!} e^{-a}+I_{n-1}(a)

De plus I_0(a) = \bigint_{0}^a e^{-t}dt =1-e^{-a}

Par une recurrence immédiate il vient : I_n(a) = 1-e^{-a}\bigsum_{k=0}^n \frac{a^n}{n!}

Il s'ensuit que \lim_{n \rightarrow +\infty} I_n(a) = 1

Posté par
jeromedu59re : integrations par parties 05-09-08 à 18:36

Merci beaucoup !
tu m'as vraiment aidé !!


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