Il faut calculer le déterminant du système et discuter suivant les valeurs de .

Si ce déterminant est non nul alors il y a un seul point d'intersection qu'il faut déterminer.

Ensuite, ce déterminant s'annule pour 2 valeurs particulières de qu'il faudra déterminer et dans ces 2 cas là résoudre explicitement.

Ok mais dans ce cas qu'est ce que le déterminant?

En fait je dois trouver la matrice et déterminer le déterminant?
Mais je ne vois pas comment déterminer la matrice puisqu'à chaque fois il y'a un terme en fonction de x,y et z (ça ok!) mais comment faire avec le +1?

C'est ça , tu détermines la matrice des coefficients de x,y,z.
Tu calcule son déterminant.
Si ce déterminant est non nul ( matrice inversible) tu auras 1 seule solution. Matriciellement, tu résous AX=B avec B=(-1,-1,-1) dont X=A^-1.B est la seule solution.

Si le déterminant est nul, tu ne peux pas faire comme précédemment, donc il faut résoudre et discuter la nature de l'ensemble des éventuelles solutions: ensemble vide, droite ou plan.

Je ne vois pas trop comment faire.
J'ai calculer le déterminant de la matrice A

A=
  1  1
1    1
1  1  

je trouve comme déterminant ³-3+2

Donc si j'ai bien compri ce que tu m'expliques, si le déterminant est non nulle je dois résoudre Ax=B et la seule solution sera X. Donc je dois résoudre

³x -3x +2x = -3?

Ouille ouille ouille

Déjà tu cherches les valeurs de qui annulent le déterminant ( 1 est racine évidente etc...) et ensuite tu résous le système quand le déterminant est non nul par la méthode du pivot de Gauss ( ou bien les formules de Cramer si ça évoque qqchose pour toi).

Quand le déterminant est nul, le système n'admet pas de solution unique donc pour les qui l'annulent, il faut déterminer le nombre de solutions et surtout la nature géométrique de l'ensemble des solutions (ensemble vide, droite ou plan).

Mais comment puis-je trouver TOUTES les valeurs de qui annulent le déterminant?
1 est solution évidente ok mais pour les autres?

si =0 alors on a P₁=P₂=P₃
Donc l'intersection des 3 plans et le plan P:x+y+z+1=0

A part ça je ne vois pas

Je n'ai pas compri non plus pourquoi on fait une matrice parce qu'on ne prend même pas en compte toutes l"équation du plan

est racine du déterminant. Donc on peut écrire et on finit la factorisation.

Par exemple pour , tu constates que les 3 équations sont les mêmes donc l'intersection se réduit à 1 seule équation et est donc le plan .

( il y a un autre réel qui annule le déterminant).

Pour les autres valeurs de , le déterminant est différent de 0. Donc le système d'équations constitué des 3 plans admet une solution unique. Dans ce cas, tu peux donner les coordonnées du point d'intersection en résolvant le système par la méthode du pivot par exemple

Je ne comprend vraiment pas...
Pourquoi on peut écrire Det = ()(a²+b+c) ??
Ca nous fait des inconnues en plus pour rien...

Je voulais écrire .

Le pb c'est de factoriser ce déterminant pour voir quand il s'annule...On trouve .

Si , Det=0 donc il n'y a pas une solution unique. On résout donc ce cas particulier. Ton système contient 3 fois la même équation donc la solution est ce plan.

Si , Det=0 encore, tu résout aussi ce cas particulier.

Dans les autres cas, donc il n'y a qu'une seule solution donc l'intersection est un point dont il faudra trouver les coordonnées en fonction de par les méthodes classique de résolution des systèmes: Pivot de Gauss,formules de Cramer.

Je crois qu'avant de t'entêter dans la résolution de ton problème, il serait mieux d'aller voir ton cours et ses exemples d'application.

Ok merci je comprend mieux.
Le problème c'est qu'on a fait le cours (sans exemple déjà) et dans le cours il n'est pas expliqué qu'il faut calculer le déterminant et l'exploiter pour trouver les résultats

Si tu n'as pas parlé de déterminant, il faut appliquer directement la méthode du pivot de Gauss.

Ok je préfère. Donc j'ai fait directement avec la méthode du pivot de Gauss.
J'obtiens le système:
x=(-1)/(-²-+2)
x=y
y=z

Est-ce normal?

Je crois que c'est ça les réponses....à condition que soit différent de 1 et de 2.

Parce que à moment donné tu dois diviser par , ce qui n'est possible que si ...

Donc ce cas là, tu dois le traiter directement

D'accord
je dirait plutot pour -2 et non 2 non?
Car même si on faisait avec le déterminant on aurait det=(-1)²(-2)

det= (-1)²(+2)   pardon

Donc alors j'ai trouvé mais j'ai encore un problèmes en -2

Je récapitule

Si 1 et -2
L'intersection est un point de coordonnées (x,y,z) avec x=y=z=(-1)/(2--²)

Si =1
L'intersection est un plan d'équation x+y+z+1=0

Si =-2
Je ne vois pas comment faire...
-2x+y+z+1=0
x-2y+z+1=0
x+y-2z+1=0


Avec le pivot de Gauss ça ne marche pas... je pense que ça doit être une droite mais je ne vois pas comment montrer