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intervalle
bonjours, j'ai des soucis a faire ça
Soit I un intervalle ouvert. On veut démontrer qu'il n'existe pas de sous-ensembles ouverts
non vides A et B de R tels que I = A u B et A n B = {} : on suppose que c'est le
cas et on veut aboutir à une contradiction. On considère pour cela, étant donnés a E A et
b élément de B, l'ensemble
E := {t élément de [0 , 1] ; a + t(b - a) élément de A}
(a) Montrer que E admet une borne sup´erieure, que l'on appellera T.
(b) Montrer (en utilisant le fait que A est ouvert) que a+T(b -a) n'appartient pas à A.
(c) En déduire (en utilisant le fait que I est un intervalle) que a + T(b - a) appartient à
B.
(d) Montrer (en utilisant le fait que B est ouvert) que ceci contredit le fait que T soit la
borne supérieure de E.
merci
je comprends même pas comment le commencer, jai fait la 1ere partie de la question et ça cest la 2eme
et si je dis,
t est entre [0 , 1] et donc E est majoré, donc elle admet une borne sup qui est le plus petit element des majorant = 1
alors je met pas égal à 1
et aide moi pour le 2eme
ofait j'ai du mal à comprendre car javai fait le maths en anglais avan de venir en france
merci
est ouvert signifie que pour tous les points
de
, il existe un intervalle ouvert non vide
tel que
.
Tu peux raisonner par contraposée. Montre que si est dans
, alors on peut trouver un
tel que
,
donc n'est pas la borne supérieure de
.
daccord, et pour le (c),
comme I = A u B et A n B = {} et que a+T(b -a) n'est pas dans A par hypothèse au dessus,
alors, a+T(b -a) est dans B.
c'est bon?
et pour (d) comme vous avez fait pour le (b) je fais la même chose sauf que je prouve que T est la borne sup?
merci
pour la (c) le fait que n'entraîne pas forcément que
,
il faut aussi montrer que (utilise le fait que
soit un intervalle) car
.
pour le (d), comme est ouvert et que d'après (c)
, il existe un réel
tel que
.
Montre alors qu'on peut trouver un réel tel que
, et déduis-en une contradiction.
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