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intervalles fonctions lipschitzienne

Posté par
robby3 01-11-09 à 13:03

Bonjour tout le monde,
une question m'embête:

Qur quels intervalles 5$ f(x)=(1+x^n)^{\frac{1}{n}} est-elle lipschitzienne (5$ n\ge 1)

je ne vois pas comment partir...
j'ai calculé la dérivée pour essayer de trouver les intervalles ou la dérivée est bornée,sans grand succés:

5$ f'(x)=x^{n-1}(1+x^n)^{\frac{1}{n}-1}

avez-vous une petite idée de comment procéder?

Posté par
robby3re : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 15:34

quelqu'un aurait-il une piste?

Posté par
Camélia Correcteurre : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 15:46

Salut robby

C'est déjà vrai sur tout intervalle fermé borné! (Non, je blague...)

Il y a un problème en -1 si n est impair. Autrement ça m'a l'air de marcher sur tout intervalle borné pour les n pairs et tout intervalle borné et "loin" de -1 pour n impair.

Posté par
robby3re : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 15:58

Salut Camélia

je ne vois pas le problème en -1 pour n impair?


j'ai fait le graphique de la dérivée et en -1,on a un "pic" de la fonction,mais la fonction reste bornée non?

Posté par
Camélia Correcteurre : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 16:12

Oui, mais il y a une tangente verticale! dans ce cas le taux d'accroissement n'est pas borné, donc pas la fonction n'est pas lipschitzienne.

Posté par
robby3re : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 16:20

et comment peut-on montrer tout ça plus "proprement"?

enfin,pour les intervalles bornés pour n pair,je vais m'en sortir

c'est le coup du problème en -1 pour n impair.
en fait ça marche sur tout les intervalles bornés ne contenant pas -1 pour n impair.
pour montrer que le taux d'accroissement (de f') n'est pas bornée:
5$ \frac{f'(x)-f'(-1)}{x+1}=\frac{x^{n-1}(1+x^n)^{\frac{1}{n}-1}-(-1)^{n-1}(1+(-1)^n)^{\frac{1}{n}-1}}{x+1}

Posté par
Camélia Correcteurre : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 16:40

C'est le taux d'accroissement de f qui t'intéresse! Si tu prends un intervalle qui contient -1 essaye d'appliquer les accroissements finis pour montrer que

\Large \frac{f\(-1+\frac{2}{k}\)-f(-1+\frac{1}{k}\)}{\frac{1}{k}}

tend vers l'infini quand k tend vers 0.

Posté par
robby3re : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 16:55

je ne vois pas trop:

on a 5$ f continue sur 5$ [-1+\frac{1}{k};-1+\frac{2}{k}] dérivable sur 5$ ]-1+\frac{1}{k};-1+\frac{2}{k}[ donc par le TAF,5$ \exists c_k\in ]-1+\frac{1}{k};-1+\frac{2}{k}[  tel que 5$ f'(c_k)=\frac{f(-1+\frac{2}{k})-f(-1+\frac{1}{k})}{\frac{1}{k}}
ainsi:
5$ \lim_{k\to 0} \frac{f(-1+\frac{2}{k})-f(-1+\frac{1}{k})}{\frac{1}{k}}=\lim_{c_k\to +\infty} f'(c_k)=\lim_{c_k\to +\infty} c_k^{n-1}(1+c_k^n)^{\frac{1}{n}-1}=+\infty
non?

Posté par
Camélia Correcteurre : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 17:14

Oui, ça montre bien que |(f(b)-f(a))|/|(b-a)| n'est pas majoré, or ce serait le cas pour f lipschitzienne.

Posté par
robby3re : intervalles fonctions lipschitzienne 01-11-09 à 17:18

ok.
d'ou ma question, ou a-t-on utiliser le fait que n était impair ici?

Posté par
Camélia Correcteurre : intervalles fonctions lipschitzienne 02-11-09 à 14:10

Oui, bien sur. Si n est pair (1+x^n) ne s'annule pas!

Posté par
robby3re : intervalles fonctions lipschitzienne 02-11-09 à 19:07

ah oui,ok.
Merci Camélia.
Bonne soirée.


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