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Inversion somme et dérivée

Posté par
Bradveto 14-12-09 à 15:31

Bonjour

J'ai montré que soit a une réel strictement positif et b un entier alors \sum_{n\in Z} |n|^be^{-|n|a} est convergente.
P(t,x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-|n|t}e^{inx}
La question est:
Montrer par récurrence sur l'entier m la propriété suivante:
H(m): P est de classe C^m sur R+ x R et pour tout couple d'entiers naturels (p,q) tels que
p+q=m, on a:
(t,x)R+* xR,
\frac{d^{p+q}P}{dt^pdx^q}(t,x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-|n|)^p(in)^qe^{-|n|t}e^{inx}

La récurrence j'arrive à la faire, l'initialisation est évidente, l'hérédité, je pose 2 cas
m=(p+1)+q et m=p+(q+1). Mon problème n'est pas le calcul mais pour passer de:
\frac{d}{dt}\sum à \sum \frac{d}{dt}
j'ai posé \frac{d^{p+q+1}P}{dt^{p+1}dx^q}(t,x)=\frac{d}{dt}\sum et grace à l'hypothèse de récurrence je trouve ce qu'il faut.

La condition pour l'inversion somme et dérivée est bien la convergence uniforme?
Normalement j'aurais du utiliser la question précédente en toute logique, mais comment?

Merci d'avance pour vos réponses.
Amanda

Posté par
Camélia Correcteurre : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 15:34

Bonjour

La condition de l'inversion de la somme et de la dérivée est la convergence uniforme de la dérivée et pas de la fonction de départ!

Posté par
Camélia Correcteurre : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 15:34

La condition est la convergence uniforme de la série des dérivées

Posté par
Bradvetore : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 15:40

ok donc c'est bien ça, c'est la convergence uniforme de  
\frac{d^{p+q}P}{dt^pdx^q}(x,t)

mais je ne vois pas comment utiliser le fait que \sum |n|^be^{-|n|a} converge,
je me doute bien qu'il ne me l'on pas fait démontrer pour rien

Posté par
Bradvetore : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 16:00

Je crois que j'ai trouvé le lien,
je dois montrer que |(-|n|)^p(in)^qe^{-|n|t}e^{inx}|\le à une fonction convergente.
|(-|n|)^p(in)^qe^{-|n|t}e^{inx}||(-|n|)^p(in)^qe^{-|n|t}| car |e^{inx}|=1 alors j'ai:
|(-|n|)^p(in)^qe^{-|n|t}e^{inx}||n|^p|n|^qe^{-|n|t} et j'ai trouvé mon rapport avec la question précédente.
Vu que cette fonction converge j'ai convergence uniforme.
Je n'ai pas dis de bêtise?

Posté par
Camélia Correcteurre : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 16:18

C'est bien ça, c'est la convergence des dérivées qui assure la dérivabilité de la somme.

Posté par
Bradvetore : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 16:24

Encore une petite question, est ce que ce calcul et la convergence uniforme suffisent
à montrer que P est de classe C^{m+1}?

Posté par
Camélia Correcteurre : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 16:30

Il faut faire la majoration avec p+q=m+1, mais ça ne change rien...

Posté par
Bradvetore : Inversion somme et dérivée 14-12-09 à 16:33

Ok merci pour tout
bonne soiree


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