Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Irrationnalité de pi

Posté par
lyon90 25-01-09 à 10:12

Bonjour à tous, je bute sur un problème concernant l'irrationalité de pi, voici l'énoncé :

On va supposer qu'il existe deux entiers p et q dans * tels que =p/q
On pose, pour tout n*, Pn = (1/n!) * Xn * (qX-p)n

Je suis arrivé à démontrer que Pn [X], que le degré de Pn est 2n et que les racines sont 0 et ou p/q.
J'ai aussi montré que n*, k[| 0, 2n |], Pn(k) (0)

Par contre je bloque pour calculer pour tout n *, Pn(-X) en fonction de Pn et ainsi d'en déduire que n*, k[| 0, 2n |], Pn(k) ().

Après je suis vraiment en pleine galère, on me demande de :
déterminer le maximumn de f : [0, ] | x|Pn(x)|
et de déterminer une constante K telle que : n*, | de 0 à Pn(t)*sint dt| (K/n!) * (p²/4q)n

Voilà le problème, donc en gros je galère vraiment sur les deux dernières questions, mais je dois avouer que cette sur le calcul avec me pose vraiment des problèmes depuis plusieurs jours...

Si quelqu'un aurait une petite idée, il est le bienvenue !

Merci d'avance

Bonne journée

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 12:38

Salut

Quelle relation as-t trouvé entre P_n(x) et P_n(\pi-x) ?

Posté par
gui_toure : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 13:04

Hello vous deux

lyon90 > tu vas maintenant pouvoir résoudre Un peu de théorie des nombres, part I: Irrationnalité.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 13:08

Salut guitou


Eh ben

Sinon c'est une méthode classique pour montrer que \pi (et même \pi^2) est irrationnel, ça s'appelle la méthode Niven si je m'en rappelle bien ...

Posté par
lyon90re : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 14:52

En fait je n'ai pas trouvé de relation entre Pn(x) et Pn(-x), c'est là où je bloque vraiment, parce qu'après plusieurs questions sont en rapports avec mais sans celle ci je ne peux pas avancer...
Comment procéder ?

Par contre gui_tou, je ne vois pas trop comment ces questions peuvent m'aider pour ce problème, ce sont des choses totalement différentes bien que l'on démontre l'irrationalité de pi non ?

Merci encore

Bonne journée !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 15:07

\Large P_n(x-\pi)=P_n(x-\frac{p}{q})=\frac{(x-\frac{p}{q})^n(q(x-\frac{p}{q})-p)^n}{n!}

Tu n'as qu'à réduire au même dénominateur et tu trouveras une relation très claire ...

Posté par
lyon90re : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 16:36

Euh, ça doit être moi mais j'ai rien de bien clair en bidouillant votre système... je dois plus savoir faire mes calculs, ça me fait peur !
Pouvez vous être un peu plus clair ?
Désolé encore de vous embêtez, d'autant plus que c'est moi qui me trompe dans mes calculs mais bon...

Merci encore !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Irrationnalité de pi 25-01-09 à 17:18

Oups c'est plutôt le contraire:

\Large%20P_n(\pi-x)=P_n(\frac{p}{q}-x)=\frac{(\frac{p}{q}-x)^n(q(\frac{p}{q}-x)-p)^n}{n!}=\frac{(\frac{p-xq}{q})^n(-qx)^n}{n!}=\frac{(\frac{p-xq}{q})^n(-qx)^n}{n!}=\frac{x^n(qx-p)^n}{n!}=P_n(x)

...

Posté par
lyon90re : Irrationnalité de pi 26-01-09 à 22:16

Merci beaucoup, c'était tout bête en fait, j'ai cherché midi à quatorze heures sur ce coup là... Ca va pas !

Avez vous une petite idée pour les questions suivantes ? je bidouille un peu l'expression, j'en déduit grosso modo même si je sens que je suis dans le faux niveau justification que Pn(k)() = Pn(k)(0) mais je n'en suis pas sur du tout...


Par contre pour les deux questions suivantes concernant la majoration je sèche littéralement, comment faire ?

Merci pour tout !

Bonne soirée !

Posté par
lyon90re : Irrationnalité de pi 27-01-09 à 17:57

Je me permet de faire un petit up..

J'arrive toujours pas à faire ces deux questions, quelqu'un pourrait il me donner une indication ?

Merci encore


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !