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Isoler une variable

Posté par
Aud39 14-12-11 à 11:45

Bonjour,

Comment isoler le \theta dans l'équation suivante (en conservant B(\alpha,\beta) et B_{\theta}(\alpha,\beta) qui sont les fonction beta complète et incomplète)? Merci.

\theta^{\alpha}(1-\theta)^{\beta-1}=B(\alpha,\beta)-2B_{\theta}(\alpha,\beta)

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Isoler une variable 14-12-11 à 16:30

Bonjour,

Si 01, alors on peut toujours poser x = (1-) et écrire en fonction de x.

Mais est-ce que cela a un sens pour les fonctions B et B ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Isoler une variable 14-12-11 à 16:32

En fait, il n'y a pas de conditions sur

Posté par
Aud39re : Isoler une variable 14-12-11 à 17:08

Oui merci, 0 \leq \theta \geq 1. Mais après ??

B(\alpha,\beta) est une constante (loi bêta) = \int_{0}^{1}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt et B_{\theta}(\alpha,\beta) est la fonction bêta incomplète = \int_{0}^{t}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt

Posté par
Aud39re : Isoler une variable 14-12-11 à 17:09

Oups, 0 \leq \theta \leq 1

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Isoler une variable 14-12-11 à 19:32

On écrit 2-+x=0 ce qui permet d'écrire en fonction de x mais est-ce qu'on peut calculer ensuite B(,) en fonction de x ?
That is the question

Posté par
Aud39re : Isoler une variable 15-12-11 à 10:47

Je suis désolée mais je n'arrive pas à comprendre ta démarche. Je vois bien que poser \theta^{2}-\theta+x=0 permet d'écrire x=\theta(1-\theta) mais qu'en est-il des puissances \alpha et \beta de mon expression de départ?

Sinon B(\alpha,\beta) est une constante donc je pensais la laisser sous cette forme. Par contre B_{\theta}(\alpha,\beta) devrait pouvoir se calculer puisque cette fonction =\int_{0}^{\theta}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt.

Sauf que je viens de lire que :

"Dans certains cas, il est de bonne politique de ne pas calculer les fonctions gamma et bêta incomplètes, mais plutôt de calculer les formes régularisées dans lesquelles ces fonctions sont divisées par les fonctions bêta et gamma complètes." (Mathématica)

Et justement, dans mon cas, le rapport fonction bêta incomplète sur fonction bêta complète est égal à la fonction de répartition de la VA \theta... Donc je pense que je ferais mieux de laisser le rapport sous cette forme.

Du coup je me permets de te redonner l'expression de départ :

\theta=\frac{1-2F(\theta)}{f(\theta)} avec F(\theta)=\frac{B_{\theta}(\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)} et f(\theta)=\frac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}.

D'où l'équation que j'en tirais dans mon premier post : \theta^{\alpha}(1-\theta)^{\beta-1}=B(\alpha,\beta)-2B_{\theta}(\alpha,\beta). Mais si j'écris F(\theta)=\frac{B_{\theta}(\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}=I_{\theta}(\alpha,\beta) avec I la forme régularisée alors j'obtiens à partir de l'équation de départ :

\theta=\frac{B(\alpha,\beta)}{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}(1-2I_{\theta}(\alpha,\beta)).

Mais mon problème reste le même, extraire \theta !

J'espère que c'est clair... Merci !

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Isoler une variable 15-12-11 à 15:33

Désolé, je n'ai pas d'autre idée.

J'en suis à me demander si on peut vraiment répondre à ton attente de façon analytique, même en développant l'expression de I(,).

Posté par
alainpaulre : Isoler une variable 15-12-11 à 16:32

Bonjour,

Sans précision complémentaire si
\theta^a(1-\theta)^{b-1}=B(a,b)-2B_\theta(a,b),

en prenant des valeurs particulières a=0 ,b=1,
a=b-1 ... on arrive à isoler \theta,



Alain

Posté par
Aud39re : Isoler une variable 15-12-11 à 17:12

Bien, merci beaucoup godefroy_lehardi.

Alain, j'ai essayé en posant \alpha=0 et \beta=1 et donc du coup mon équation du premier post devient :

1=B(\alpha,\beta)-2B_{\theta}(\alpha,\beta)

\leftrightarrow

2 \int_{0}^{\theta}t^{-1}dt=\int_{0}^{1}t^{-1}dt

\leftrightarrow

2 \int_{0}^{\theta}\frac{1}{t}dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{t}dt

\leftrightarrow

2[ln(t)]_{0}^{\theta}=[ln(t)]_{0}^{1}

et du coup j'ai un problème avec ln(0)...

Posté par
alainpaulre : Isoler une variable 15-12-11 à 18:04

Bonsoir,

\beta=1 ,
peux-tu laisser \alpha tel quel

et déterminer les choses après?



Alain


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