Bonjour à tous,
J'ai entendu un jour aux infos que le ministère de la défense allait construire un nouvel état-major qui aura, parait-il, la forme d'un hexagone (sur le projet, ça ne saute pas aux yeux ).
Évidemment, ça fait penser au Pentagone américain.
Du coup, j'ai imaginé l'énigme suivante :
A l'intérieur d'un hexagone régulier ABCDEF de base 100, on dessine 3 pentagones réguliers de base 100 également et ayant chacun un côté commun avec l'hexagone. Cependant, ces côtés communs sont des côtés non adjacents de l'hexagone (par exemple AB, CD et EF).
Question : quelle est l'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones ?
Vous donnerez la réponse arrondie à l'entier le plus proche.
Bonjour,
Je comprends pas le concept de "base" d'un hexagone ou d'un pentagone régulier. Je vais supposer qu'il s'agit du côté.
Dans ce cas, l'aire cherchée fait environ 10415 unités carrées.
Bonne journée sinon.
Aire intersection = 10392 (arrondie à l'entier)
L intersection est un hexagone régulier dont l'aire vaut 0,4 * l'hexagone de départ.
Aire hexagone = 25980.762
A+
Torio
Bonjour,
considérons la figure 1 avec l'intersection des 3 pentagones inscrits dans l'hexagone. La surface ,en jaune, est un hexagone irrégulier dont les angles successifs entre deux cotés valent alternativement 132° ou 108°.Par symétrie, cet hexagone peut être décomposé en 3 quadrilatères dont les diagonales ,(en rouge) sont orthogonales.
Dans le quadrilatère JHGO, on peut calculer la longueur du coté JO=JM-OM
OM est explicité dans la figure 2 de l'hexagone suivante:
et JM dans la figure du pentagone (figure 3)
Après calcul, on trouve OJ =67,28163648 et JN=OJ*cos (30°) =OJ*(3)/2= 58,2676064. La première diagonale vaut JG=116,5352128
NO=OJ*sin(30°)=33,64081824 et NH=JN*tan(24°)=25,94240979 soit la deuxième diagonale HO=NH+NO=59,58322803
La surface du quadrilatère JHGO vaut (HO*JG)/2 = 3471,772079
et finalement l'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones vaut 3 * 3471,772079 = 10415,31624 arrondie à 10415
Bien à vous
Bonjour Godefroy,
Je propose 10415 unités d'aire
Avec EXCEL on peut tout faire...
Dès qu'on a les points P0 à Pn=P0 du contour, il suffit d'appliquer
A = 1/2 (xi * yi+1 - xi+1 * yi) pour i allant de 0 à n-1
Merci pour ce petit casse-tête
A+
Bonjour,
Voici ma réponse :
L'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones est 10 415.
Merci
bonjour,
je trouve que la partie commune aux trois domaines pentagonaux est un domaine hexagonal régulier de côté
la surface de la partie commune est donc
d'où
unités de surface à une unité prés par défaut en espérant que mes calculs du petit matin ne sont pas erronés
merci pour ce problème
Bonsoir godefroy_lehardi,
L'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones est égale à 9779 .
Merci pour ce joute.
Bonjour
Après mes vacances j'ai vérifié mes calculs.
J'avais trouvé à l'echelle 1/20ème 26.03829058 que j'ai multiplié par 20 ; ce qui m'a donné 520.7658115 => 521 ( ma 1ère réponse)
Mais comme c'est une aire j'aurais dû multiplier par 20² => 26.03829058 *20² =
10.415,31623 => 10.415
Encore un (bête) poisson en plus
Merci pour toutes ces enigmes
A+
brrr... j'ai eu un peu de mal avec celui-ci.
je propose une surface de 10415 unités.
j'ai l'impression qu'une solution "élégante" doit faire apparaître le nombre d'or d'une manière ou d'une autre, mais je n'ai pas encore trouvé une telle solution.
merci pour l'énigme !!
Bonjour,
Sauf erreur, l'aire de l'intersection des pentagones est de 6546.
Cette aire représente à peine plus du quart de l'aire de l'hexagone (25,2%).
Et plus exactement :
Aire = 100² * (tg/3+tg/5) * (sin/5+sin2/5-sin2/3)²/(tg/5+tg/6)²
Ouf !
Bonjour Godefroy,
Je n'ai trouvé nulle part une quelconque définition de la base d'un polygone régulier ; vu l'énoncé (hexagone et pentagone ont même base d'une part, et un côté commun d'autre part), j'ai été amené à supposer qu'il s'agit pour toi de la longueur a du côté.
Sous cette hypothèse, et l'aire de l'intersection étudiée valant environ 1,0415316237.a² , je propose donc la réponse : A 10415 .
Bonjour godefroy.
Je trouve que l'aire de l'intersection des 3 pentagones est de 10415 unités.
A+ et merci pour l'énigme !
Bonjour godefroy,
je trouve une aire de 104.15 (ne connaissant pas l'unité je ne vois pas bien où arrondir exactement)
Cordialement
Bonjour godefroy_lehardi,
Vite fait, avant la clôture: l'aire recherchée vaut environ 10 416 km2.
Merci pour l'énigme !
Bonjour,
il y a une erreur à la figure 3 de mon message précédent: le centre du pentagone doit être appelé O1 car il est différent du centre O de l'hexagone
Merci de corriger
A bientôt
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