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justification cv integrale

Posté par
robby3 17-12-09 à 21:24

Bonsoir tout le monde,
une petite question:
comment justifie t-on l'existence de la 5$ \lim_{\lambda\to 0} \Bigint_{1/\lambda}^{+\infty}e^{-\lambda.t}cos(t)dt

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 17-12-09 à 22:00

L'existence en 0 ? C'est pas la continuité en 0 de la fonction sous l'intégrale ?

Posté par
robby3re : justification cv integrale 17-12-09 à 22:03

oui,peut-être bien,mais ça parait trop trivial pour que ce soit ça...d'ou ma question

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 17-12-09 à 22:07

"Cherche à la lumière", dixit un fou

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 17-12-09 à 22:08

Sinon, \Large exp(-\lambda t)cos(t)\sim_{t\to 0} cos(t) qui est elle est clairement continue en 0 et donc intégrable dans un voisinage de 0. Non ?

Posté par
robby3re : justification cv integrale 17-12-09 à 22:12

ah oui,non mais si c'est ça c'est trivial, mais ce qui me gène, c'est que la borne en bas de l'intégrale,c'est pas \lambda mais 1/\lambda, donc le problème est pas tellement en 0.

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 17-12-09 à 22:13

Arf, oui

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 17-12-09 à 22:24

Elle se calcule je crois, soit par double IPP, soit en écrivant le cosinus sous forme complexe!

Posté par
robby3re : justification cv integrale 18-12-09 à 14:42

elle ne se calcule pas par Ipp car une primitive de cos est sin et n'a pas de limite en l'infini.

Quelqu'un a t-il une autre idée?

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 15:12

Il faut faire deux IPPs! J'ai plus le brouillon mais je crois bien que ça fonctionne!

Posté par
robby3re : justification cv integrale 18-12-09 à 15:21

non,mais dés la première ça part en sucette je crois...

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 15:55

Non mais attends, y'a un petit souci là! Tu dois montrer que \Large f(t)=cos(t) vérifie \Large \lim_{\lambda\to 0} L_f(\lambda) existe, c'est bien ça ?
Dans ce cas, c'est \Large\lim_{\lambda\to 0}\Bigint_0^{+\infty}f(t)exp(-\lambda t)dt ! Non ?

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 15:56

La borne ne dépend pas du paramètre \Large\lambda il me semble.

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 15:56

Salut

L'intégrale se calcule bien, mais la limite que tu cherches n'existe pas (car sin(1/x) oscille méchamment).

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 15:57

Si la borne dépend de lambda, c'est écrit...

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 16:02

Peut-être. Mais si c'est la question B-4 du DM, il ne dépend pas du paramètre!

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 16:04

On a 3$ \Bigint_{1/x}^{+\infty}e^{-xt}\cos(t)=\frac{1}{e(1+x^2)}\[x\cos\(\frac{1}{x}\)+\sin\(\frac{1}{x}\)\].

Le premier terme dans le crochet tend vers 0 donc pas de problème, mais c'est le second qui pêche.

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 16:10

Non mais la question c'était :

Montrer que \Large f(t)=cos(t) verifie les conditions (i) et (ii) suivantes :
(i) \Large\forall\lambda >0 , \Large L_{f}(\lambda)=\Bigint_{0}^{+\infty}f(t)exp(-\lambda t)dt converge
(ii) \Large\alpha = \lim_{\lambda\to 0} L_f(\lambda) existe

Je crois que robby voulait montrer la (ii). Dans ce cas, il faut prouver que \Large \lim_{\lambda\to 0}\Bigint_{0}^{+\infty}f(t)exp(-\lambda t)dt existe !
Sauf erreur.

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 16:26

OK.

Dans ce cas c'est pareil, il suffit de calculer l'intégrale qui vaut 3$ \Bigint_{0}^{+\infty}e^{-\lambda t}\cos(t)dt=\frac{\lambda}{1+\lambda^2}\stackrel{\lambda\to 0}{\longrightarrow}\,0

Posté par
robby3re : justification cv integrale 18-12-09 à 16:27

ah oui pardon,j'ai fait un mix des deux!
il faut bien prouver l'existence de cette limite!

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 16:28

Pas grave robby

Posté par
robby3re : justification cv integrale 18-12-09 à 16:31

oui,donc en fait,c'est trivial!
désolé du dérangement.

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 16:33

Oui, et pour le calcul de l'intégrale le plus simple est de passer en complexe.

Voilà bonnes vacances

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 16:39

A toi aussi!

Posté par
infophilere : justification cv integrale 18-12-09 à 16:49

Merci, mais j'ai de quoi m'occuper pas mal de DM dont un très joli : ENS 2003 sur le théorème de Mordell-Weil (qui dit qu'on peut munir une certaine famille de courbes elliptiques d'une structure de groupe commutatif de type fini).

Posté par
H_aldnoerre : justification cv integrale 18-12-09 à 16:55

A chacun son DM

Posté par
robby3re : justification cv integrale 18-12-09 à 16:58

Citation :
ENS 2003 sur le théorème de Mordell-Weil

le genre de truc que je n'oserais jamais toucher!


Bonnes vacances et bonnes fêtes!


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