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l'essentiel sur les fonction ln et exp
bonsoir
je regardais le cours sur ln et exp mais je comprends pas beacoup.
quelqu'un(e) peut-il(elle) m'aider à me faire comprendre l'essentiel à retenir pour c'est deux fonctions(ln et exp)
merci
Salut 
Je vois que tu es en 1ere , le plus simple selon moi c'est d'attendre d'être en terminale.. 
Kuider.
J'ai failli rajouter "quelles propriétés ne comprends-tu pas ?"
Quelle définition de ces fonctions utilises-tu ?
En fonction du départ choisi, il y a plusieurs options pour arriver à l'arrivée voulue.
As-tu regardé les cours de l'île? As-tu des notions sur les équations différentielles? Les primitives? L'intégration?
SALUT
tu attends aussi pour les fonction ln et exp
je te conseille de reviser tes cours de 1ere ca serait plus interessant pour toi.
Bon en gros :
Exponentielle.
La fonction exponentielle notée exp est l'unique solution de l'équation différentielle qui prend la valeur 1 en 0.
Cela veut dire que exp vérifie :
A partir de cette définition découlent plusieurs propriété.
Notament on peut montrer que pour tout a et b réels : .
Comment à partir de la définition montrer ce résultat? Ca peut sembler bizarre mais pourtant ça se tient.
En effet, soit a un réel quelconque. On pose h la fonction définie par :
On dérive :
On en déduit que h est une fonction constante.
Or, h(0)=exp(a). Par conséquent, pour tout x,
Et au final :
Bref, on peut montrer aussi que l'exponentielle est unique (c'est à dire qu'aucune autre fonction ne vérifie l'équation différentielle sous la condition y(0)=1), montrer que exp(a/b)=exp(a)-exp(b) etc... tu verras tout ça dans un cours.
On voit que la fonction exponentielle agit un peu comme une fonction exposant. En fait, on peut montrer que pour tout x, où e est le nombre de neper/euler, qui vaut
(rappel :
)
On peut aussi démontrer que la fonction exponentielle est strictement croissante. De ce fait elle est bijective et admet une application réciproque. Cette application réciproque est le logarithme népérien
Logarithme népérien
Je viens de dire que le logarithme népérien était l'application réciproque de l'exponentielle ( c'est à dire que si y=exp(x) alors x=ln(y) où ln est le logarithme népérien.
Il existe une autre manière de définir ln, on définit cette fonction comme la primitive de la fonction inverse (qui à x associe 1/x) qui prend la valeur 0 en 1. C'est à dire que ln est la fonction qui a pour dérivée 1/x et telle que ln(1)=0.
Formellement, on écrit que (notation intégrale).
Bref, la fonction ln est définie sur ]0;+oo[ et à valeur dans R.
Une question qui se pose, est de savoir quel rapport entre une primitive de 1/x et la réciproque de l'exponentielle? Pourquoi ces fonctions sont-elles les même?
On peut le montrer pour s'amuser.
Montrons que ln(exp(x))=x.
On pose
On dérive :
Pourquoi cela? Je rappelle la formule de dérivée d'une composée :
On a donc h'(x)=1. Cela veut donc dire que h(x)=x+C où C est une constante.
Comme h(0)=ln(exp(0))=ln(1)=0, on a donc C=0 c'est à dire h(x)=x pour tout x, ce qu'on voulait démontrer.
Bref, comme pour l'exponentielle on a pas mal de propriété (qui peuvent sembler similaires à l'exponentielle)
Par exemple, pour tout a et b positifs : ln(ab)=ln(a)+ln(b). ln(a/b)=ln(a)-ln(b) et plein d'autres (tu trouveras tout ça dans un cours).
Au final, ces fonctions nous servent dans beaucoup de calcul. Au lycée on se contente souvent des les étudier et d'étudier des fonctions qui y font appel (dérivation, calcul de limite).
C'est à peu près tout au niveau des bases. Tu compléteras avec le cours.
justement c'est deja fait et ensuite j'ai enchaine avec les primitives et les integrales et je veux maintenant ln et exp
moi j'ai besoin de l'essentiel
Si tu entres cette année en terminale, il est normal que tu ne saches pas très bien ce que sont ces deux fonctions. Je ne suis pas certain que les définitions que l'on pourra te donner et terminale vont beaucoup t'avancer.
Disons, que, pour l'année prochaine, tu devras essentiellement savoir que ce sont des fonctions de références (comme les fonctions carré, cube, racine, inverse...), qu'il te faudra connaître leurs propriétés (algébriques, analytiques), et que tu obtiendras des valeurs très précises à l'aide de ta calculatrice.
Les logarithmes ont été utilisés pour la première fois au XVI siècle, dans le but de faciliter les opérations. Ils permettent de faire des multiplications en se contentant de faire des additions.
Pour une définition plus formelle, il vaut mieux attendre de faire des études de mathématiques. Sache que, comme dans beaucoup de domaines des maths, on n'a jamais fini d'attendre. Mais disons que la définition de l'exponentielle (à mon sens, ça peut se discuter) est plutôt celle-ci: (CF Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, chapitre préliminaire).
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