Bonjour phisics-girl,

il serait gentil de faire "l'effort" de recopier l'énoncé comme les règles de ce forum l'exigent  

Pour t'aider à résoudre ton problème, souviens-toi que la limite d'un produit est égale au produit des limites et que la fonction x1/x est continue sur ^+*...

Bon courage

pas vu l'édit de Tom_Pascal

L'énoncé:
"Soit f :ℝ+∗ -> ℝ une fonction telle que x->f(x) est croissante et x->f(x)/x est décroissante.
Montrer que f est continue.".

On a supposé un certain "a" qui appartient à l'ensemble de définition de cette fonction.
ben, puisqu'on a x->f(x) croissante on a déduit que :
x->a- lim f(x) =< f(a) =< x->a+ lim f(x) ( et on essaie au cours de la démonstration de prouver cette inégalité inversée pour en déduire l'égalité, la chose qui implique la continuité).

De la même manière, puisque x->f(x)/x  est décroissante , on en déduit que:
x->a+ lim[f(x)/x] =< f(a)/a =< x->a- lim[f(x)/x]

Mais, voilà ce que j'arrivais pas à comprendre et ben c'est l'étape qui nous donne le résultat espéré:

Par opérations sur les limites , on obitient:
x->a+ lim[f(x)/x] =1/a( x->a+ lim f(x))

Mais bon grâce à l'indication de "lexou1729" , je comprend maintenant.
C'est grâce à la possiblité du produit de deux limites:
x->a+  lim [f(x)/x] = lim f(x) * lim 1/x  ( la même chose pour x->a- )

C'est bien ça? Mais je pense qu'il y a des règles, non? Sinon il suffit que "a" soit différent de 0 et de l'infini, non?

Merci!

("Tom_Pascal"> Désolée, comme déjà fait(!) heheh, j'évitais de poster une image à l'énoncé, mais voilà ce qui m'a encore échappée: Pas de Lien (!) )

Autant on ne peut rien dire des limites de la fonctions f car on ne connait rien (ou presque) sur la fonction, autant comme la fonction x1/x est continue sur ^+*, alors on a :


P.S. bravo pour l'effort d'écriture

Merci Lexou1729 pour ton aide j'ai bien compris!